一、牛顿-莱布尼兹公式
按照定积分定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算．本节介绍定积分计算的有力工具——牛顿-莱布尼兹公式．
我们先回顾变速直线运动的路程问题．如果物体以速度v(t)（v(t)≥0)作直线运动，那么在时间区间[a,b]上所经过的路程为
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数s(t)，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是
s(b)-s(a)．
即
一般地，有下面的定理.
定理1 设函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
上式称为牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式．为了使用方便，这个公式还可以写成下面的形式
它表明，计算定积分只要求出被积函数的一个原函数，再将上、下限分别代入求差即可．这个公式为计算在积分区间上连续的函数的定积分提供了有效而简便的方法．
二、定积分的凑微分法和分部积分法
三、定积分的换元法
定理2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作变换x=φ(t)，若满足：
（1）x=φ(t)在[α,]β上有连续导数φ′(t)；(www.xing528.com)
（2）当t在[α,]β上变化时，x=φ(t)的值在[a,b]上变化；
在应用定积分的换元法时应注意以下两点.
（1）用x=φ(t)把变量x换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限，且上限对应于原上限，下限对应于原下限．
（2）求出f[φ(t)]φ′(t )的一个原函数F(t)后，不必像计算不定积分那样再把F(t)变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入F(t)，然后相减．
习题3.5
1．用直接积分法计算下列定积分：
2．用凑微分法或分部积分法计算下列定积分：
3．用换元积分法计算下列定积分：
4．求下列所给曲线（或直线）所围成的图形的面积：
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