定积分概念与性质详解

一、定积分的概念和几何意义

1．引例

引例1 曲边梯形的面积

我们已经学过正方形、长方形、三角形、梯形、圆等面积的计算公式，会求一些规则几何图形的面积．如果对这样一个图形：由y=x2与x=y2围成的图形，如图3-4所示，我们是否会求其面积呢？为了解决这个问题，首先引入曲边梯形的概念．

图3-4

定义1 在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)与三条直线x=a,x=b,y =0围成的图形AabB叫作曲边梯形，如图3-5所示．

曲边梯形有三条直边，其中两条直边互相平行且与第三条直边垂直，第四条边是曲边.特殊情况下，两条互相平行的直边中的一条或全部可缩为一个点．x轴上的线段ab叫作曲边梯形的底边．

对于曲边梯形，显然不能用矩形、三角形或梯形等图形的面积公式直接进行计算，但若将其分割成若干小曲边梯形，如图3-5所示，可将每个小曲边梯形近似地看作矩形，用矩形的面积计算公式得到每个小曲边梯形面积的近似值，再将所有小曲边梯形面积的近似值加起来，就可得到大曲边梯形面积的近似值，分割得越细，精确程度就越高，令分割无限细密，近似值就无限接近于精确值，即曲边梯形面积的精确值就是近似值的极限．具体步骤如下.

图3-5

（1）分割（“化整为零”）．在区间[a,b]内任意插入n-1个分点：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn =b ，把区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn ]，每个子区间的长度为

Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n)．

过每个分点xi作垂直于x轴的直线，将大的曲边梯形aABb分成n个小曲边梯形．

（2）近似代替（“以直代曲”）．在每个子区间[xi-1,xi ]上任取一点ξi，则第i个小曲边梯形面积ΔAi可用以[xi-1,xi ]为底，f(ξi )为高的小矩形面积f(ξi)Δxi 近似代替，即ΔAi≈f(ξi)Δxi (i =1,2,…,n )．

（3）求和（“积零为整”）．把n个小曲边梯形面积的近似值加起来，就是大曲边梯形aABb的面积A的近似值，

即

引例2 变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，其速度v是时间t的连续函数v=v(t)(v(t )≥0)．试求该物体从t=a到t=b的一段时间内所经过的路程s．

我们知道，对于匀速直线运动有路程公式：路程＝速度×时间，但是，在我们的问题中，速度不是常量，而是随时间变化的变量，因此，所求路程s不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．但是，由于物体运动的速度函数v=v(t)是连续变化的，在很短时间内，速度的变化很小，近似于匀速．因此，如果把时间间隔分小，在小段时间内，以匀速运动替代变速运动，即可算出部分路程的近似值，再求和，得到整个路程的近似值；最后通过对时间间隔无限细分的极限过程，就是所求变速直线运动的路程的精确值．具体步骤如下.

（1）分割（“化整为零”）．在[a,b]上任意插入n-1个分点：

a=t0＜t1＜t2＜…＜tn-1＜tn =b ，

把时间区间[a,b]任意分成n个子区间：[t0,t1]，[t1,t2]，…，[tn-1,t n ]．

（2）近似代替（以“匀”代“变”）．在每个子区间[ti-1,ti ](i=1,2,…,n)上任取一点τi，则第i段时间内运动的路程Δsi可用以v(τi )为速度的匀速直线运动的路程近似代替，即Δsi≈v(τi)Δti (i=1,2,…,n)．

（3）求和．把n段时间内运动的路程的近似值加起来，就得到时间[a,b]内运动的路程的近似值．

即

以上两个问题分别来自几何和物理，两者的实际意义截然不同，但是计算这些量所使用的数学方法和步骤都是相同的，并最终归结为求一个和式的极限．

如果不考虑这些问题的具体实际意义，只对它们在数量关系上共同的本质加以概括，我们可给出定积分的定义．

2．定积分的定义

定义2 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插入n-1个分点：

a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn =b ，

把区间[a,b]分成n个子区间，各子区间的长度依次为Δxi=xi-xi -1(i =1,2,…,n )．

根据定积分的定义，前面两个引例可分别写成如下形式的定积分.

曲边梯形的面积A就是曲边函数f(x)在其底所在的区间[a,b]上的定积分：

变速直线运动的路程s就是速度函数v=v(t)在时间区间[a,b]上的定积分：

3．定积分的几何意义

图3-6

图3-7

例1 用定积分表示下图中各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．

解 （1）图（1）中，在区间[0,2]上，被积函数f(x)=x≥0，根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为

（2）图（2）中，在区间[2,4]上，被积函数f(x)=1-x＜0，根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为

所以

二、定积分的性质

性质2 两个函数代数和的定积分等于定积分的代数和，即

此性质可推广到有限个函数代数和的情形．

性质3 被积函数中的非零常数因子可以提到积分号的外面，即(www.xing528.com)

图3-8

性质6 （积分中值定理）如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在闭区间[a,b]上至少存在一点ξ，使

图3-9

习题3.4

4．用定积分表示由曲线y=x2，直线x=1，x=3及x轴所围成的图形的面积A．

5．设一汽车做直线运动，其速度为v=2t+17（t的单位：s；v的单位：m/s），试用定积分表示汽车在[0，60]内所行驶的路程及平均速度．

6．利用定积分表示下列各图中阴影部分的面积：

（第6题图）

7．利用定积分的几何意义求出下列定积分的值：