高等数学简明教程：不定积分方法及常用技巧

利用直接积分法，我们所能计算出的不定积分是非常有限的，为了更好地解决求原函数的问题，下面再介绍几种常用的不定积分方法．

一、凑微分法

1．积分基本公式的扩展

我们先来看如何求积分∫cos3xdx ，如果直接套用积分基本公式

定理 若∫f(x)dx=F(x)+C （即F′(x)=f(x))，则∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C （φ(x)为可导函数）．

证 因为F′(x)=f(x)，所以(F[φ(x)])′=F′[φ(x)]φ′(x)=f[φ(x)]φ′(x)，

即dF[φ(x)]=f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)，所以

此定理告诉我们：当我们把积分基本公式里的x换为关于x的一个可导函数φ(x)时，公式仍然成立，这样，由基本公式可以扩展出无穷多个公式．如将公式∫cosxdx=sin x+C 里的x换为2x+3时，可以得到公式∫cos(2x+3)d(2x+3)=sin(2x+3)+C．

例1 写出下列积分的结果：

2．凑微分法的适用范围

当遇到形如∫f[φ(x)]φ′(x)dx 的积分，即被积函数是两个函数的乘积，一个函数复杂，一个函数简单，简单函数φ′(x)是复杂函数中间变量φ(x)的导数（或与φ(x)的导数只相差一个常数因子），这时可将φ′(x)dx凑成dφ(x)，这样，原来的积分就变成了∫f[φ(x)]dφ(x)，然后，再对照扩大的积分公式，写出结果．这种方法，称为凑微分法，掌握这种方法的前提是熟悉微分和不定积分基本公式．

例2中被积函数全部是单一函数，这时直接和基本积分公式对照，看函数属于哪一种类型，直接凑出所需要的微分．

二、分部积分法

1．分部积分公式

前面我们用凑微分法计算出了积分∫xcosx2dx ，能否用凑微分法计算∫xcosxdx ？不妨试一试∫xcosxdx =∫xdcosx ，这时，无法套用积分基本公式，凑微分失效，因此，有必要学习新的积分方法，这一节我们来学习分部积分法.

设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则根据乘积微分法可得

d(uv)=udv+vd u ，

即

udv=d(uv)-vd u ，

两边积分，得

∫udv=uv-∫vd u ．

上式称为分部积分公式，利用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法．其特点是把∫udv转换成∫vdu，因此，若∫vdu比∫udv容易计算(或相当)，则可考虑试用此法．

运用分部积分法的关键在于恰当选择u和dv．一般来说，选择u和dv可依据以下两个原则：

（1）v容易求出；

（2）∫vdu比∫udv容易计算．(www.xing528.com)

2．分部积分的规律

思考：上述两个积分，如果选cos（x或ex） 为u，情况如何？

规律：被积函数为xa ×sinbx（或cosbx），xa ×ebx （a，b为常数）时，应把xa 选为u，而把三角函数与指数函数经过凑微分移到dv中，简述为“三指动”．

思考：如果选arctan（x或ln x） 为u，情况如何？

规律：被积函数为ax×反三角函数（或对数函数）时，应选反三角函数或对数函数为u，而把剩余部分凑成dv，简述为“反对不动”．

规律：被积函数只有一项，可以看成udv自然分成（被积函数为u），直接应用分部积分公式即可．

等式右端出现了原积分，把等式看作以原积分为未知量的方程，解此方程，得

即

规律：被积函数为eax×sinbx（或cosbx）时，既可以选指数函数为u，也可以选正弦、余弦函数为u，但两次使用分部积分公式时，选取的u必须是同类函数，最后通过解方程得出答案．

分部积分法的规律：“三指动，反对不动”．其中，“三”表示三角函数sinax，cosbx；“指”表示指数函数eax；“反”表示反三角函数arcsinx，arctanx；“对”表示对数函数lnx．

三、换元积分法

1．代数换元

*2．三角换元

习题3.3

1．在下列各等式右端的括号内填入适当的常数，使等式成立：

2．求下列各不定积分：

3．求下列各不定积分：

4．求下列各不定积分：