高等数学：定积分运算法则与基本公式

一、不定积分的运算法则

法则1 两个函数和（或差）的不定积分等于两个函数不定积分之和（或差），即

此法则对于有限个函数的代数和也是成立的．

法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外，即

注意：（1）∫f(x)g(x)dx≠∫f(x)dx∫g(x)dx ；

二、不定积分的基本公式

由于不定积分运算是导数(或微分)运算的逆运算，因此，我们可以从导数的基本公式，得到不定积分的基本公式，现把它们列表（见表3-1）对照如下.

表3-1

续表

以上十六个公式，是求不定积分的基础，必须记熟记准．

三、直接积分法

在求不定积分时，可以直接按积分基本公式和两条基本运算法则求出结果（如例1）．但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形），再利用积分的两条基本运算法则，然后按基本公式求出结果，这样的积分方法叫作直接积分法，这是最基本的积分方法．

例2表明，对某些根式或分式函数求积分，可先把它们化为xα的形式，然后运用幂函数的积分公式求积分．

此例表明，遇到函数乘积或商的积分，尽量变为代数和的积分，这样便于运用不定积分运算法则．

此例几个积分被积函数均为分式形式，这时要把分式拆成几个分式之和，关键是要依据分母的特点变形分子，使分子出现分母中所含有的因式，如第一个积分是将分子2x2+1拆成(x2+1)+x2，而(x2+1)和x2恰好是分母中含有的因式；第二个积分分子采用的变形方法是“加一项，减一项”；第三个积分是将分子“1”恒等变形为sin2x+cos2x．

在此例中，先将被积函数恒等变形，然后运用积分基本公式和法则求出积分．

常用的三角函数公式如下：

公式⑥和⑦是余弦二倍角公式的变形公式，运用这两个公式，可起到降幂扩角的作用．(www.xing528.com)

习题3.2

1．求下列不定积分：

2．已知某曲线经过点(0，-5)，并且曲线上任意一点(x,y)处切线的斜率为1-x，求此曲线的方程．

3．一物体以速度v=3t2+4t (m/s)作直线运动，当t=2s时，物体的位移s=16m，求物体的运动规律．