高等数学：不定积分的概念和性质

对于一元函数而言，求一个已知函数的导数或微分大家已经非常熟悉． 反之，若已知某个函数的导函数或微分，如何求原来的函数呢？这就是我们将要学习的内容．

一、原函数

1．原函数的定义

定义1 设函数f(x)在某区间上有定义，如果存在函数F(x)，对于该区间上任意一点x，都有

F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx ，

则称函数F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数．

例1 指出下列函数的一个原函数：

（1）f(x)=sin x； （2）f(x)=3； （3）f(x)=ex．

解 （1）因为(-cosx)′=sinx，所以-cosx是sinx的一个原函数；

（2）因为(3x)′=3，所以3x是3的一个原函数；

（3）因为(ex)′=ex ，所以ex是ex的一个原函数．

2．原函数的个数

从上面例子可以看到，一个已知函数，如果有一个原函数，那么它就有无限多个原函数，并且其中任意两个原函数之间只相差一个常数．一般来说，若有F′(x)=f(x)，就有(F(x)+C)′=f(x)．即若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）仍是f(x)的原函数，且F(x)+C（C为任意常数）包括了f(x)的所有原函数，如sinx+C 就表示cosx的所有原函数．

二、不定积分

1．不定积分的定义

定义2 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作

其中∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．

根据不定积分定义，若求不定积分，只要求出被积函数的一个原函数，再加上任意常数C即可．

例2 求函数2x的不定积分．

例4 设一条曲线通过点（1，2）且曲线上任一点处的切线斜率为2x，求此曲线的方程．

解 设所求曲线方程为y=f(x)，依题意，得

故 y=f(x)=∫2xdx =x2+C ．

将x=1,y=2代入上式，得C=1，于是所求曲线方程为

y=x2+1．

2．不定积分运算与导数、微分运算之间的关系

由不定积分的概念可以知道，“求不定积分”和“求导数”或“求微分”互为逆运算．即有

此关系可概括为“先积后微，形不变；先微后积，多一常数”．

3．不定积分的几何意义

定义3 通常把f(x)的一个原函数y=F(x)的图形叫作函数f(x)的一条积分曲线，而不定积分∫f(x)dx表示一族积分曲线，称为积分曲线族．(www.xing528.com)

如图3-1所示，积分曲线族y=F(x)+C 的特点是：

图3-1

（1）积分曲线族中任意一条曲线，都可由其中某一条沿y轴平移若干个单位得到；

（2）由于[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)，所以积分曲线族中横坐标相同的点处切线的斜率相等，都等于f(x)，从而使横坐标相等的对应点处的切线互相平行．

这就是不定积分的几何意义．

习题3.1

1．sinx和cosx分别是谁的原函数?

3．若f(x)的一个原函数为sin2x，求∫f(x)dx．

4．若f(x)的一个原函数为x5，求f(x)．

5．若∫f(x)dx=2x +cos x+C ，求f(x)．

6．若f(x)的一个原函数为sinx，求f′(x)dx∫．

7．若f(x)的一个原函数为sinx，求[f(x)dx]′∫．

8．用微分法验证下列等式：

9．写出下列各式的结果：

11．已知一条曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的3倍，且过点(0,1)，求此曲线方程．

12．设一质点以加速度a=-3sin t 作直线运动，开始时质点的速度v0=5，位移s0=1，求速度函数v=v(t)和位移函数s=s(t)．