如何判断曲线的凹凸性与拐点？

第6题图

图2-7

一、曲线的凹凸性

我们观察图2-8，在图（a）中，曲线是向下凹入的，此时曲线位于其上各点切线的上方；在图（b）中，曲线是向上凸起的，此时曲线位于其上各点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出如下定义.

图2-8

定义1 如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一点的切线的上方，则称该曲线弧在此区间内是凹的（见图2-8（a））；如果曲线弧总位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线弧在此区间内是凸的（见图2-8（b））．

下面给出曲线凹凸性的判定定理．

定理 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,

（1）若在(a,b)内f′(x)＞0, 则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;

（2）若在(a,b)内f′(x)＜0, 则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．

例1 讨论曲线y=x3的凹凸性．

解 y′=3x2，y′′=6x．

所以，当x＜0时，y′＜0，曲线是凸的；当x＞0时，y′＞0，曲线是凹的．曲线形状如图2-9所示．

由例1可以看出，点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点．

定义2 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点称为该曲线的拐点．

例1中的点(0,0)是曲线3 y=x的拐点．

解 函数的定义域为(-∞,+∞)；

方程y′=0无解，而函数在x=0处不存在二阶导数，当x＜0时，y′＞0；当x＞0时，y′＜0．

因此，点(0,0)是曲线的拐点．

图2-9

极值点是函数的单调区间的分界点，而拐点是曲线凹凸区间的分界点．讨论曲线的拐点实质上就是确定曲线的凹凸性．因此，我们可以按以下步骤讨论曲线的拐点．

（1）确定函数y=f(x)的定义域；

（2）求出函数的二阶导数f′(x)；

（3）求出使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点；

（4）对以上各点，在它们的两侧讨论f′(x)的正、负，进而确定出曲线的凹凸区间和拐点．

例3 讨论曲线y=3x4-4x3+1的凹、凸区间及拐点．

解 （1）函数的定义域为(-∞,+∞).

（2）y′=12x3-12x2，

例4 若用P(t)表示某日某上市公司在时刻t的股票价格，并设P(t)是连续可导函数，请根据以下叙述判定P(t)的一阶、二阶导数的正负号．

（1）股票价格上升得越来越快；

（2）股票价格接近最低点．

二、函数图形的描绘

1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线

要想完整描绘出函数的图形，除了要知道其升降、凹凸性、极值点和拐点等性态外，还需了解曲线无限远离坐标原点时的变化状况，这就是下面要讨论的曲线的渐近线问题．在此，我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线．

先看两个例子：

图2-10

（2）当x→1+时，曲线y=ln(x-1)无限接近于直线x=1（见图2-11）．

图2-11

一般地，有下面的定义.

2.函数图形的描绘

在中学学习函数时，我们一般是用描点法来描绘函数的图形，很难准确地把握函数的一些关键性态，比如关键点、凹凸性等．现在我们可以利用导数，来准确地把握函数的关键性态，进而比较准确地绘出函数的图形．

利用导数描绘函数的图形一般步骤包括：

（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性；

（2）求出函数的一阶和二阶导数，并求出方程f′(x)=0和f′(x)=0在定义域内的所有实根及f′(x)、f′(x)不存在的点，用这些点把定义域划分为若干个部分区间；

（3）列表考察在每个部分区间内f′(x)，f′(x)的正负，确定曲线的单调性、极值，凹凸性和拐点；

（4）确定曲线的渐近线；

（5）确定极值点、拐点、曲线与坐标轴的交点，并把这些点在坐标系中描绘出来；

（6）根据需要，可以在关键点的附近取一些辅助点，以便更准确地确定函数的图形.

最后，用光滑流畅的曲线把这些点联结起来，就可得到函数的图形．

解 （1）函数的定义域为x≠0，此函数为非奇非偶函数．

由f′(x)=0, 得驻点 x=-2，由f′(x)=0，得x=-3．

（3）列表讨论函数在各部分区间内的性态.

（4）因为

因而y=-2是曲线的水平渐近线．

又

因而x=0是曲线的垂直渐近线．

根据以上讨论，描绘出函数的图形，如图2-12所示．

图2-12

*三、曲线的曲率

曲率（曲线上某点的弯曲程度）是描述曲线局部性质的标志．

如图2-13所示，设曲线C是光滑的，可以看到，在曲线C上，弧段PQ与QR的长度相差不多，而它们的弯曲程度却差别很大．当动点沿曲线C从点P运动到Q时，曲线C的切线转过的角度αΔ，比动点从Q运动到R时曲线C的切线转过的角度βΔ要大得多．由此可见，曲线弯曲的程度与曲线的切线转过的角度有着密切的关系．

图2-13

设点P处切线的倾角为α，当动点沿曲线C从点P运动到Q时，动点对应的切线转过的角度为αΔ，若曲线上弧段PQ的长为Δs，则称比值

为弧段PQ的平均曲率．如果极限

存在，则称此极限为曲线C在点P处的曲率．记作

若曲线是由参数方程(www.xing528.com)

表示，则

例6 计算直线y=ax+b上任一点的曲率．

解 显然y′=a,y′=0，所以直线y=ax+b上任一点的曲率K=0, 即直线的曲率处处为零．

例7 计算半径为R的圆上任一点的曲率．

则

即圆上各点处的曲率等于半径的倒数，且半径越小曲率越大.

例8 抛物线y=ax2+bx+c 上哪一点处的曲率最大？

图2-14

习题2.6

1.求下列函数的凹凸区间及拐点：

（1）y=xe-x ； （2）y=(x+1)4+ex．

2．试确定y=k(x2-3)2中的k值，使曲线在拐点处的法线通过原点.

3．曲线y=ax3+bx2+cx+d 在x=0处有极值f(0)=0，(1,1)是拐点，求a，b，c，d的值．

4．求一个四次多项式f(x)，使该曲线在点(0,0)与x轴相切，且在拐点(1,1)处，有平行于x轴的切线．

5．2006年，面对中国房价的暴涨，经济学家预测：2007年中国房价将会出现拐点．试解答这句话的意思．

6．在一个有限的环境中，人口的增长通常遵从如图所示的“S”形曲线，它描述了人口增长率是怎样随时间而变化的，解释t0与L的实际意义．

7.求下列曲线的渐近线：

8.描绘下列函数y=2-x-x3的图形．

9.求下列曲线在给定点的曲率：

（2）y=lnx在点(1,0)；

（3）y=x2在点(1,1)．

第6题图