数学书《简明高等数学》介绍拉格朗日中值定理及函数单调性

微积分的主要研究对象是函数，导数（微分）是研究函数的主要工具．那么如何利用导数这个工具来研究函数呢？微分中值定理正是联系函数与它们的导数之间关系的桥梁．本节主要介绍拉格朗日中值定理，并利用此定理来讨论函数的单调性．

一、拉格朗日中值定理

定理 （拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函数f(x)满足如下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导．

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b), 使得

拉格朗日定理的几何意义：如图2-4所示，在满足条件的曲线y=f(x)上，至少存在一点C(ξ1,f(ξ1))，使得曲线在该点的切线平行于曲线两端点的连线AB．

图2-4

例1 验证函数f(x)=x2+1在闭区间[1,4]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的ξ．

解 我们从定理中的两个条件来逐一判断是否符合．

函数f(x)显然在[1,4]上连续，即条件（1）符合．

因为f′(x)=2x ，此函数在（1, 4）内有意义，所以函数f(x)在（1, 4）内可导，条件（2）符合．

所以f(x)在[1,4]上满足拉格朗日中值定理的条件．

二、函数的单调性

在中学我们讨论函数的性质时，基本上是根据函数的图形来讨论的．而中学的方法不能作为准确的作图依据，因此，我们的讨论就有很大的局限性．借助导数这个工具，我们就可以准确地把握函数的性质．首先我们利用导数来讨论函数的单调性．根据拉格朗日中值定理，我们可以得到如下两个推论.

推论1 若函数f(x)在区间I内可导，且f′(x)≡0，则f(x)在区间I内是一个常数函数．

证 任取两点x1,x2∈I，设x1＜x2，显然，函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件，于是存在ξ∈(x1,x2)⊂I ，使得

f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x 1)=0．

即

f(x1)=f(x2)．

这说明在区间I内，任何两点对应的函数值都相等，因而函数f(x)是常数函数．

推论2 已知函数f(x)在区间I内可导，

（1）若在区间I内恒有f′(x)＞0，则函数f(x)在区间I内单调递增，区间I称为函数f(x)的一个单调递增区间；

（2）若在区间I内恒有f′(x)＜0，则函数f(x)在区间I内单调递减，区间I称为函数f(x)的一个单调递减区间．

证 任取两点x1,x2∈I，设x1＜x2，显然，函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件，于是存在ξ∈(x1,x2)⊂I ，使得

（1）若在区间I内恒有f′(x)＞0，这时当然有f′(ξ)＞0，于是f(x2)-f(x1)＞0，这说明函数f(x)在区间I内单调递增；

（2）若在区间I内恒有f′(x)＜0，这时当然有f′(ξ)＜0，于是f(x2)-f(x1)＜0，这说明函数f(x)在区间I内单调递减．

说明：当函数在某区间内仅在一些孤立的点处的导数为零或不存在，而在该区间内的其他点处的导数均大于（或小于）零，此时该函数在这个区间内仍是单调递增（递减）的．在推论2中，函数的定义区间可以是任意形式的区间．

例2 讨论函数y=x2的单调性．

解 函数的定义域为(-∞,+∞)

y′=2x．(www.xing528.com)

当x＜0时,y′＜0, 所以函数在(-∞,0)内单调减少;

当x＞0时,y′＞0, 所以函数在(0,+∞)内单调增加．

当x＜0时,y′＜0, 所以函数在(-∞,0)内单调减少；

当x＞0时,y′＞0, 所以函数在(0,+∞)内单调增加．

例4 判定函数y=x-sin x 在[0,2π]上的单调性．

解 因为在(0,2π)内y′=1-cosx ＞0，所以函数y=x-sinx 在[0,2π]上单调增加．

确定函数f(x)单调性的一般步骤：

（1）确定函数f(x)的定义域.

（2）求出一阶导数f′(x)，确定使f′(x)=0及f′(x)不存在的点.

（3）用（2）所得的点将定义域划分为若干子区间，列表确定f′(x)在各个子区间内的符号，进而确定函数f(x)的单调区间．

例5 确定函数f(x)=2x3-9x2+12x -3的单调区间．

解 （1）函数的定义域为(-∞，+∞)．

（2）f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x -2),

由f′(x)=0, 得x1=1，x2=2．

（3）列表讨论如下

所以，函数f(x)在区间(-∞,1)和(2,+∞)内单调增加，在区间(1,2)内单调减少．

习题2.4

1．验证函数f(x)=ln(1+x)在区间[0,1]上满足拉格朗日定理的条件，并求出使定理结论成立的ξ的值．

2．确定下列函数的单调区间：

（1）f(x)=3x-x2； （2）f(x)=ex -x-1；

（3）f(x)=(x-1)(x +1)3； （4）f(x)=2x2-ln x ；

（5）f(x)=3x4-4x3； （6）f(x)=x3-3x +1．