简明高等数学：函数微分，金属薄片面积变化测算

一、微分的概念

先看一个具体问题．一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0+Δx（见图2-2），问此薄片的面积大约改变了多少？

图2-2

正方形薄片受温度变化的影响所改变的面积可以看成是当自变量x在x0处有改变量Δx时，函数A=x2相应的增量，即

ΔA=(x0+Δx)2-x02=2x0·Δx+(Δx)2．

定义 设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，则称f′(x0)Δx为函数f(x)在x0处的微分，记作

f(x)在任一点x的微分叫作函数f(x)的微分，记作

由微分的定义，函数y=x的微分为

即自变量x的微分dx等于自变量x的增量Δx，于是当x是自变量时，可以用自变量的微分dx代替它的增量Δx，于是函数y=f(x)的微分可以写作

或

例2 设y=2-x+x2，求dy．

解 dy=(2-x+x2)′dx=(-1+2x)dx ．

例3 设y=xex，求dy．

解 dy=(xex ),dx=(ex+xex)dx=ex (1+x)dx ．

例4 设y=sin2x，求dy．

解 dy=(sin2x)′dx=cos2x(2x)′dx =2cos2xdx ．

二、微分的几何意义

图2-3

三、微分在近似计算中的应用

解 当公司每天的产量从250增加到260时，公司每天产量的增加量为Δx=10，用dR估算每天的收入增加量为

*四、弧微分

简记为

即弧微分

习题2.3

1．求下列函数的微分：

2．在下列各括号中填入一个函数，使各等式成立：

3.设函数f(x)=x2，求当x0=2,Δx=-0.1时函数的增量Δy与微分dy.(www.xing528.com)

4.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm，估计每只球需用铜多少克？（铜的密度是8.9 g/cm2）

5.求下列曲线的弧微分：

（1）y=x2+x； （2）y=sinx．