初等函数求导|简明高等数学-找求导公式和法则简化计算

前面我们讨论了导数的定义，并且利用定义计算了一些简单函数的导数，对于初等函数，虽然也可以用定义求他们的导数，但是，运算过程通常非常繁琐．因此，我们要利用一些求导公式和法则来简化求导运算．

一、函数和、差、积、商的求导法则

设函数u=u(x)与v=v(x)都是x的可导函数，则

例5 电路中某点的电流强度i是通过该点处的电量q关于时间t的变化率，如果某一电路中的电量为q(t)=t3+t．求：

（1）电流函数i(t)；

（2）t=2时的电流强度.

例6 已知某物体做直线运动，运动方程为s=(2t2-1)(t +1)．求在t=2时的速度及加速度．

解 物体的运动速度及加速度分别为

t=2时的速度和加速度分别为

二、复合函数的求导

我们前面求导总是直接对自变量求导，但多数情况并不能这样做．例如，求y=sin2x的导数就无法直接套用公式，否则就会发生错误．

错误解答：y′=(sin2x)′=cos2x .

正确解答：y′=(sin2x)′=(2sinxcosx)′

=2(cos2x-sin2x)

=2cos2x .

比较之下，答案错误的原因是把2x当成了自变量．y=sin2x是复合函数，对于复合函数求导，有以下链式法则.

如果u=φ(x)在点x处可导，而y=f(u)在对应的点u=φ(x)处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且有

②f′[φ(x)]表示复合函数f[φ(x)]关于中间变量u=φ(x)的导数，而{f[φ(x)]}′表示复合函数f[φ(x)]关于自变量x的导数．

由复合函数求导法则知，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．该法则可推广到有限次复合函数的求导运算．

若y=f(u)，u=φ(v)，v=g(x)，则复合函数y=f{φ[g(x)]}的导数为

该法则称为复合函数求导的链式法则．在计算复合函数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，即它是由哪几个基本初等函数或简单函数复合而成的，然后再求导．

这样求y=sin2x的导数就不成问题了.y=sin2x是由y=sinu,u=2x 复合而成的．

例7 求函数y=(1-2x)7的导数．

例8 设y=sin2x，求y′．

例9 设y=lnsin x ，求y′．

复合函数求导熟练后，中间变量可以不必写出．

解 先用商的求导法则，遇到复合函数时，再用复合函数求导法则．

例13 放射性元素碳-14的衰减满足：Q=e-0.000 121t ，其中Q是第t年碳-14的余量．求碳-14的衰减速度．

解 碳-14的衰减速度v为

三、隐函数求导

1．隐函数求导法

方程两边求导时要注意两点：

①y是x的函数.

解 方程xy-ex+ey =0两端同时对x求导，遇到y要注意y是x的函数，用复合函数求导法则，得

y+xy′-ex+ey y′=0.

例15 求曲线224 x+xy+y=在点(2,-2)处的切线方程．

解 方程2240 x+xy+y-=两边对x求导，得

2x+y+xy'+2y·y '=0．

解得

所以，所求切线方程为y+2=1·(x -2)，即y-x+4=0．

*2．反函数的求导法则

设函数y=f(x)可导并且存在可导反函数x=φ(y)（直接反函数），f′(x)与φ′(y)之间有什么样的关系？

方程y=f(x)两边同时对y求导（把x看作是y的函数，y是自变量），得

即

因此我们得到结论：互为反函数的导数互为倒数．

例16 求反正弦函数y=arcsin x (-1＜x＜1)的导数．

解 函数y=arcsin x 的直接反函数为x=siny．方程x=siny两边同时对x求导得

所以

即

同理可以推导另外三个反三角函数的导数公式：(www.xing528.com)

*四、由参数方程所确定的函数的导数

一般情况下，参数方程

确定了y是x的函数（当然也可以说确定了x是y的函数），它是通过参数t联系起来的．此函数可以看成是由y=f(t)和t=φ-1(x)复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有

五、高阶导数

在某些问题中，需要对函数y=f(x)多次求导，如路程s=s(t)对时间t的导数是物体运动的速度v(t)=s′(t)，而加速度a(t)=s′(t)，相当于连续两次对s=s(t)求导．

定义 如果函数y=f(x)的导数f′(x)在点x处可导，则称f′(x)在点x处的导数为函数y=f(x)在点x处的二阶导数，记为y′′，即

相应地，把y=f(x)的导数f′(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数．

类似地，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数，……，（n-1）阶导数的导数叫作n阶导数，它们分别记作y′′′,y(4),…,y(n )，

函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数．

由上述可知，求高阶导数只需应用一阶导数的基本公式和求导法则反复进行求导运算即可．

例18 设y=x2sinx ，求y′．

解 y′=2xsinx+x2cos x ．

y′′=2sinx+2xcosx+2xcosx-x2sin x

=2sinx+4xcosx-x2sin x ．

例19 求y =ax的n阶导数．

解 y′=lna·ax ，y′′=(lna)2·ax ，y′′=(lna)3·ax，…，y(n)=(lna)n·ax ．

特别地，当a=e时，有 (ex)(n)=ex ．

习题2.2

1．求下列函数的导数：

2．求下列函数的导数：

3．将一只球从桥上抛向空中，t秒后球相对于地面的高度为y米，y=f(t)=-2t2+10t +3．求

（1）球在0到2秒内的平均速度．

（2）球在2秒时的瞬时速度．

4．火箭发射t秒后的高度为s=2t2千米，求火箭发射后5秒时的速度．

5．某城市正在遭受一场瘟疫，通过研究发现，第t天感染该疾病的人数为p(t)=100t2-5t 3（t的单位：天；0≤t≤20）．试求该疾病在t=10天时的传播速度．

6．石油流经一管道的路程与时间的关系为s3-2t2=5t ，求石油流经管道的流速．

7．设质点做直线运动，其运动方程为s=t3-3t+2，求质点在t=2时的速度及加速度．

8．求由下列方程确定的隐函数的导数：

（1）x2-y2=36； （2）y=x+ln y ；

（3）y=1-xey； （4）cos(xy)=x．

12.求下列函数的n阶导数．