高等数学：瞬时速度概念及计算方法

一、引例

1．瞬时速度

设一物体做变速直线运动，其运动规律为s=s(t)，求该物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)．

首先我们要明确瞬时速度是什么？物体在时刻t0的瞬时速度与它在t0附近的平均速度有着密切的关系．当时间由t0变到t0+Δt（即时间改变量为Δt）时，物体经过的路程（路程改变量）为：

Δs=s(t0+Δt)-s(t 0)

于是物体从t0到t0+Δt这一段时间的平均速度（亦称路程对时间的平均变化率）是

这就是做变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度的定义及计算方法．

2．切线斜率

如图2-1所示，设曲线L的方程为y=f(x)，求此曲线上点M处切线的斜率．

图2-1

要求曲线在某点的切线的斜率，首先我们要明确曲线在该点的切线是如何定义的？

设M是曲线L上的一个定点，N是曲线L上另一个点，过点M和N作一条直线MN，称MN为曲线L的割线，当点N沿曲线L向定点M运动时，割线MN的极限位置MT称为曲线L在点M处的切线（对比一下中学学过的曲线切线的定义）．

因此，割线MN的斜率k′的极限（N→M）就是切线MT的斜率k．

下面我们来求曲线在M点的切线的斜率．设点M的坐标为(x0,f(x0))，点N的坐标为(x0+Δx,f(x0+Δx))，割线MN的斜率为

当N→M时，Δx→0．于是，曲线L在点M处的切线MT的斜率为

这就是曲线切线的定义及其斜率的计算方法．

二、导数概念

1．函数f(x)在点x0处的导数

上面两个引例，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率．但从数学结构上看，它们却具有共同的特点：函数的增量与自变量的增量之比，当自变量的增量趋于零时的极限．这种形式的极限在自然科学和工程技术领域内还有许多，如加速度、角速度、电流强度等都可以归结为这种形式．我们抛开这些问题的具体背景，抓住它们在数量关系上的共性——求增量比的极限，就得到了导数的概念．

定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处有改变量Δx时，相应的函数值的改变量是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导（或存在导数），此极限叫作函数f(x)在点x0处的导数，记为f′(x0)，即

根据定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：

2.导函数

例4 求下列函数的导数：

用类似方法，我们可以得到一些常用的求导基本公式．

三、导数的实际意义

从导数的定义来看，导数的实质就是因变量对自变量的变化率，导数就是变化率问题的数学模型．

1.导数的物理意义

2.导数的经济意义

（1）人口增长率．人口增长率就是人口函数对时间的导数.

（2）边际成本、边际收入与边际利润．某产品的总成本是C=C(x)，x是产品的产量，则产量的变化引起成本的变化率是成本函数的导数C′=C′(x)，经济学中常称为边际成本；同样收入函数R=R(x)的导数R′=R′(x)称为边际收入；利润函数L=L(x)的导数L′=L′(x)称为边际利润．

3.导数的几何意义

由引例及导数的定义可知，函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率，从而得到曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为

y-y0=f′(x0)(x-x0)．

法线方程为(www.xing528.com)

例6 求曲线y=x2在点（1，1）处的切线方程和法线方程．

解 由导数的几何意义知，曲线y=x2在点（1，1）处的切线斜率为

所以，所求切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1．

习题2.1

1.下列命题是否正确？若不正确举出反例：

（1）若函数y=f(x)在点x0处不可导，则y=f(x)在点x0处一定不连续.

（2）若曲线y=f(x)处处有切线，则y=f(x)必处处可导.

3．用导数的定义求函数f(x)=2x-3的导数．

4．利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数：

5．求曲线y=lnx在（1, 0）点处的切线与法线方程．

6．求曲线y=x2上与直线y=2x+1平行的切线方程．