简明高等数学：无穷小与无穷大的比较

一、无穷小量

1．无穷小量的定义

在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量．例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．又如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．

对于这样变量，我们给出下面的定义.

定义1 如果当x→x0（或x→∞）时，函数f(x)的极限为零，则函数f(x)叫作当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小．

注意:

（1）如果称一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量x的变化过程．如f(x)=x2在x→0的过程中为无穷小量，而在自变量的其他变化过程中如x→1时，f(x)=x2就不是无穷小量．

（2）无穷小表达的是量的变化状态，并不是表示量的大小．因此，无穷小并不是绝对值很小的量，而是以零为极限的变量．一个量(常数)无论多么小，一般都不是无穷小．如10-32这个数虽然很小，但它不以零为极限，所以不是无穷小量．

（3）常数中只有“0”是无穷小．

例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小?

2．无穷小的性质

性质2 有限个无穷小的积仍是无穷小．

性质3 有界函数与无穷小的积仍是无穷小．

3.函数极限与无穷小的关系

定理1 具有极限的函数等于它的极限值与一个无穷小之和；反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限.

下面就x→x0时的情形加以证明:

就是说,α是当x→x0时的无穷小.由于α=f(x)-A ,所以f(x)=α+A.

这说明了具有极限的函数等于它的极限值与一个无穷小之和.

反之,设f(x)=α+A,其中A为常数,α是当x→x0时的无穷小,则

这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限.

类似地，可以证明当x→∞时的情形.

二、无穷大量

1．无穷大量的定义

又如，当x→+∞时，2x取正值而无限增大，所以2x是当x→+∞时的正无穷大，记作

当x→0+时，lnx取负值而绝对值无限增大，所以lnx是当x→0+时的负无穷大，记作

注意:(www.xing528.com)

（2）一个数不论多么大，都不能作为无穷大，如10010就不是无穷大.

2．无穷小与无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大．

例3 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大?

*三、无穷小阶的比较

由无穷小的性质知，有限个无穷小的和、积依然是无穷小，而两个无穷小的商不一定是无穷小．例如，x→0时，x，2x，x2都是无穷小，但是

以上不同的结果，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度的不同．为了比较两个无穷小的变化速度的快慢，下面引入无穷小阶的概念．

下面给出一些常用的当x→0时的等价无穷小．

习题1.5

1．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？怎样变化时是无穷大？

2．利用无穷小的性质求下列极限：

3．试证：当x→0时，sinx2是比tanx高阶的无穷小．

5．一放射性材料的衰减模型为N=100e-0.026t (单位:mg)，求：

（1）该放射性材料最初有多少？

（2）衰减10%所需的时间？

（3）给出t→+∞时的衰减规律．