数学家刘徽的割圆术及其极限思想

我国魏晋时期杰出的数学家刘徽(约公元225—295)在公元263年创立了“割圆术”，解决了当时的数学难题——求圆的面积．他借助于圆内接正多边形的面积，得出了圆的面积，刘徽叙述这种作法时说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．这就是说，随着圆内接正多边形边数无限增加，圆内接正多边形的面积就无限接近于圆的面积．这种“割圆术”所运用的数学思想，正是本节将要学习的极限思想．

一、数列的极限

我们已经学习了数列的概念．现在我们进一步考察当自变量n无限增大时，数列xn =f(n)的变化趋势．先看下面两个数列．

为清楚起见，我们把这两个数列的前几项分别在数轴上表示出来（见图1-18，图1-19）．

图1-18

图1-19

这两个数列都具有这样的特性：随着项数n的无限增大，数列的项nx无限地趋近于某个确定的常数A．一般地，我们给出下面的定义.

定义1 如果当n无限增大时，数列nx无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为数列xn 的极限，或称数列xn收敛于A，记作

例1 观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：

解 列表考察这四个数列的前几项，及当n→∞时，它们的变化趋势：

根据数列极限的定义可知：

从前面所举的例子可以推得下面的结论：

需要指出，不是任何数列都有极限．例如，数列xn=2n，当n无限增大时，2n也无限增大，不能无限接近于一个确定的常数，所以这个数列没有极限．

又如，数列xn=(-1)n，当n无限增大时，(-1)n在-1与1之间摆动，也不能无限接近于一个确定的常数，所以这个数列也没有极限．

若数列没有极限，则称该数列发散．

二、函数的极限

1.当x→∞时,函数f (x)的极限

自变量x→∞，指的是x的绝对值无限增大，它同时包含以下两种情况：

（1）x取正值而无限增大，记作x→+∞；

（2）x取负值而它的绝对值无限增大，记作x→-∞．

图1-20

定义2 如果当x→∞时，函数f(x)无限地接近于一个确定的常数A，则常数A就叫作函数f(x)当x→∞时的极限，记作

在定义2中，如果只考虑x→+∞的情形，就记作

如果只考虑x→-∞的情形，就记作

图1-21

例3 讨论当x→∞时，函数f(x)=arctan x 的极限．

解 作出函数f(x)=arctan x 的图形，如图1-22所示，由图可知：

图1-22

2.当x→x0时,函数f (x)的极限

首先介绍邻域的概念.

设x0,δ∈R且δ＞0,则开区间(x0-δ,x0+δ)称为点x0的δ邻域,记为U(x0,δ),即

点x0称为这邻域的中心, δ称为这邻域的半径.

其中x→x0表示x既从x0的左侧无限接近于x0（记作x→x0-），也从x0的右侧无限接近于x0（记作x→x0+）．

在定义3中，如果只考虑x →x0-的情形，就记作

此极限称为函数f(x)当x→x0时的左极限．

如果只考虑x→x0+的情形，就记作

此极限称为函数f(x)当x→x0时的右极限．

图1-23

解 观察图1-24可知：

（1）由于

图1-24

从以上几个例题可以看出，分段函数在分段点的两侧往往有不同的函数表达式，因此在讨论当x→x0（x0为分界点）时分段函数f(x)的极限时，常常需要先讨论函数的左、右极限，然后判定函数的极限是否存在．

习题1.2

1．填空题：

2．观察下列数列的变化趋势，判断它们是否收敛，若收敛，写出其极限：(www.xing528.com)

3．（存款模式）某人有本金A元，若银行存款的年利率为r，不考虑个人所得税．试建立此人n年末的本利和数列，并分析此数列的极限，解释其实际意义．