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2012年硕士研究生入学考试数学真题与热点问题解析

时间:2023-11-03 理论教育 版权反馈
【摘要】:]′所以f′=1·(-1)(-2)…[-(n-1)]+0·[…

2012年硕士研究生入学考试数学真题与热点问题解析

一、选择题

(1)分析 分别确定曲线978-7-111-46057-2-Chapter02-248.jpg的铅直和非铅直渐近线的条数即可.

精解y在点x=-1,1处无定义,但

所以,所给曲线只有一条铅直渐近线x=1.此外,由

知,所给曲线只有一条非铅直渐近线y=1(它为水平渐近线).

因此本题选(C).

附注 在计算曲线y=fx)的非铅直渐近线时,如果978-7-111-46057-2-Chapter02-251.jpg(常数),必有978-7-111-46057-2-Chapter02-252.jpg,所以此时非铅直渐近线只有水平渐近线y=k.

(2)分析导数定义计算f′(0).

精解 由于f(0)=0,所以

因此本题选(B).

附注 用如下方法也可以计算f′(0):

由于f′x)={(ex-1)[(e2x-2)(e3x-3)…(enx-n)]}′

=ex(e2x-2)(e3x-3)…(enx-n)+(ex-1)[(e2x-2)…(enx-n)]′

所以f′(0)=1·(-1)(-2)…[-(n-1)]+0·[(e2x-2)…(enx-n)]′x=0

=(-1)n-1n-1)!.

(3)分析 利用收敛正项级数的性质确定正确选项.

精解 由于数列{Sn}有界时,{Sn}单调增加且有界,所以由数列极限存在准则Ⅱ知978-7-111-46057-2-Chapter02-254.jpg存在,记为A,则978-7-111-46057-2-Chapter02-255.jpg,即{an}收敛.但反之未必成立,例如正项数列{an}={1}收敛,但数列978-7-111-46057-2-Chapter02-256.jpg无界.

所以{Sn}有界是正项数列{an}收敛的充分而非必要条件.

因此本题选(B).

附注 数列极限有两个存在准则:

准则Ⅰ 设数列{xn},{yn},{zn},如果ynxnznn=N+1,N+2,…,其中N是某个整数),且978-7-111-46057-2-Chapter02-257.jpg,则

准则Ⅱ 设数列{xn}单调不减有上界或单调不增有下界,则978-7-111-46057-2-Chapter02-259.jpg存在.

(4)分析 画出函数978-7-111-46057-2-Chapter02-260.jpg在[0,3π]上的概图,就可由定积分的几何意义得到正确选项.

精解 函数978-7-111-46057-2-Chapter02-261.jpg在[0,3π]上的概图如图B-12-1所示.由图可知,

I1=D1的面积,

I2=D1的面积-D2的面积,

I3=D1的面积-D2的面积+D3的面积.

于是,I2I1.此外,由D3的面积>D2的面积知I3I1,所以有

I2<I1<I3.

因此本题选(D).

图 B-12-1

附注D3的面积>D2的面积可从图中看出,也可证明如下:

(5)分析 逐个判断选项的正确性,直到得到正确选项为止.

精解 对选项(A).当x1x2时,对任意y978-7-111-46057-2-Chapter02-264.jpgfx1y)>fx2y),特别有fx1y2)>fx2y2).(1)

y1y2时,对x1978-7-111-46057-2-Chapter02-265.jpg

fx1y1)>fx1y2). (2)

由式(1)、式(2)知,当x1x2y1y2时,fx1y1)>fx2y2).

因此本题选(A).

附注 本题也可用积分计算.对于选项(A)有978-7-111-46057-2-Chapter02-266.jpg,其中积分路径为如图B-12-2所示的有向折线978-7-111-46057-2-Chapter02-267.jpg于是有

fx1y1)>fx2y2).

图 B-12-2

(6)分析 画出区域D,利用D的对称性化简所给的二重积分后再计算.

精解D如图B-12-3阴影部分所示.

用曲线y=-sinxD分成D1D2两块,则

图 B-12-3

(由于D1关于x轴对称,函数x5y在对称点处的值互为相反数,所以978-7-111-46057-2-Chapter02-273.jpg由于D2关于y轴对称,函数x5y在对称点处的值互为相反数,所以978-7-111-46057-2-Chapter02-274.jpg

此外, 978-7-111-46057-2-Chapter02-275.jpg将式(2)、式(3)代入式(1)得

因此本题选(D).

附注 本题也可按以下方法计算:

重画D的图形如图B-12-4阴影部分所示,它被y轴划分成D3D5两块,D3D4关于原点对称,由于x5y-1在对称点(xy)与点(-x,-y)处的值彼此相等,所以

图 B-12-4

从而

本题的有关计算方法见提高篇12.

(7)分析 只要在α1α2α3α4中找到三个向量,以它们为列的矩阵行列式为零即可.

精解 由于

所以向量组α1α3α4线性相关.

因此本题选(C).

附注 判别nn维列向量组α1α2,…,αn线性相关性的快捷方法是构造矩阵A=(α1α2,…,αn),

当|A|=0时,α1α2,…,αn线性相关;

当|A|≠0时,α1α2,…,αn线性无关.

(8)分析 利用978-7-111-46057-2-Chapter02-281.jpg即可算出Q-1AQ.

精解 由于978-7-111-46057-2-Chapter02-282.jpg

所以978-7-111-46057-2-Chapter02-283.jpg

因此本题选(B).

附注 本题也可用以下方法快捷计算:

978-7-111-46057-2-Chapter02-284.jpgα1α2A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量,所以α1+α2α2也是A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量,因此,对于Q=(α1+α2α2α3)有

二、填空题

(9)分析 所给方程两边对x求导两次,并将y(0),y′(0)的值代入即可得到y″(0).

精解 显然y(0)=0,所给方程两边对x求导得

2x-y′=eyy′. (1)

由此可得y′(0)=0.

式(1)两边对x求导得

2-y″=eyy′2+eyy″.

x=0及y(0)=y′(0)=0代入上式得

2-y″(0)=y″(0),即y″(0)=1.

附注 应熟练掌握一元隐函数求一、二阶导数的方法.

(10)分析 将所给极限转换成积分和式极限即可.

精解978-7-111-46057-2-Chapter02-286.jpg

附注fx)是[ab]上的连续函数,则fx)在[ab]上的积分和式

的极限为978-7-111-46057-2-Chapter02-288.jpg,即

这一方法常用于和式极限的计算.

(11)分析z求全微分算出978-7-111-46057-2-Chapter02-290.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-291.jpg后即可得到978-7-111-46057-2-Chapter02-292.jpg

精解 由于978-7-111-46057-2-Chapter02-293.jpg

所以,978-7-111-46057-2-Chapter02-294.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-295.jpg.于是

附注 当要同时计算二元可微函数fxy)的两个偏导数时,总是从计算全微分df入手.特别是当fxy的二元复合函数时,采用这一方法将使计算快捷.

(12)分析 将所给微分方程改写成

ydx+xdy)-3y2dy=0

后求解.

精解 所给微分方程可以写成

ydx+xdy)-3y2dy=0,

d(xy-y3)=0.

由此得到所给微分方程的通解

xy-y3=C.

x=1,y=1代入上式得C=0.所以所求的满足y|x=1=1的解为x=y2,进而可得978-7-111-46057-2-Chapter02-297.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-298.jpg

附注 所给微分方程也可以写成

978-7-111-46057-2-Chapter02-299.jpg(一阶线性微分方程),

它的通解为

x=1,y=1代入上式得

1=C+1,即C=0.

于是x=y2.

(13)分析曲率计算公式算出所给曲线在点(xy)处的曲率,然后由题设建立方程,解此方程即可得出所求的点.

精解 曲线y=x2+xx<0)在点(xy)处的曲率为

于是由题设得方程

978-7-111-46057-2-Chapter02-302.jpg,即(2x+1)2=1.

解此方程得x=-1(舍去了不合题意的x=0).

y=(-1)2+(-1)=0.

所以所求的点的坐标为(-1,0).

附注y=yx)二阶可导时,曲线y=yx)在点(xy)处的曲率的计算公式为

(14)分析 利用公式AA=|A|E3(其中E3是三阶单位矩阵),并用初等矩阵与A之积表示B,即可算出|BA|.(www.xing528.com)

精解 由题设得978-7-111-46057-2-Chapter02-304.jpg,所以

因此,978-7-111-46057-2-Chapter02-306.jpg

附注 应记住:当An阶矩阵时,

AA=AA=|A|EnEnn阶单位矩阵,AA的伴随矩阵).

并应熟练掌握:矩阵M的每一个初等行变换(初等列变换)都对应一个初等矩阵,并且对M左乘(右乘)这个初等矩阵即为M经此初等变换后的矩阵.

三、解答题

(15)分析 (Ⅰ)978-7-111-46057-2-Chapter02-307.jpg是∞-∞型未定式,转换成978-7-111-46057-2-Chapter02-308.jpg型未定式后再计算.

(Ⅱ)令k=1,2,…逐一计算极限978-7-111-46057-2-Chapter02-309.jpg,直到极限不为零为止,如此确定k的值.

精解 (Ⅰ)978-7-111-46057-2-Chapter02-310.jpg

(Ⅱ)由于

其中,x→0时

所以,978-7-111-46057-2-Chapter02-313.jpg,即x→0时fx)-a=fx)-1与x是同阶无穷小,从而k=1.

附注 题解中极限978-7-111-46057-2-Chapter02-314.jpg是采用不同方法计算的,这是因为如对后者仍应用洛必达法则计算,则是比较复杂的.

本题的有关计算方法见提高篇01.

(16)分析 按二元函数极值计算方法计算.

精解 由于978-7-111-46057-2-Chapter02-315.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-316.jpg,所以由978-7-111-46057-2-Chapter02-317.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-318.jpg,得fxy)的可能极值点为(1,0)和(-1,0).

978-7-111-46057-2-Chapter02-319.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-320.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-321.jpg

可知,978-7-111-46057-2-Chapter02-322.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-323.jpg

978-7-111-46057-2-Chapter02-324.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-325.jpg,因此fxy)有极大值978-7-111-46057-2-Chapter02-326.jpg,极小值978-7-111-46057-2-Chapter02-327.jpg

附注fxy)具有二阶连续偏导数,(x0y0)是它的可能极值点,且记A=fxxx0y0),B=fxyx0y0),C=fyyx0y0),则(x0y0)是fxy)的极小值点(极大值点)的充分条件

AC-B2>0与A>0(A<0).

(17)分析 先算出切点A的坐标,并画出D的概图,然后计算D的面积及旋转体的体积.

精解 设切点Ax0y0)(其中y0=lnx0),则切线方程为

978-7-111-46057-2-Chapter02-329.jpg

由于切线通过点(0,1),将它代入上式得

1-lnx0=-1,即x0=e2.

图 B-12-5

于是切点A(e2,2),而Lx轴的交点B(1,0).由此得到D的概图如图B-12-5的阴影部分所示.

Dx轴旋转一周所得的旋转体的体积为

附注 顺便计算Dy轴旋转一周所得的旋转体的体积V1.

本题是综合题,有关计算方法见提高篇09.

(18)分析极坐标计算所给的二重积分.

精解978-7-111-46057-2-Chapter02-335.jpg

附注 当积分区域D是角域的一部分时,二重积分978-7-111-46057-2-Chapter02-336.jpg通常用极坐标计算,特别是当积分区域D用极坐标表示(此时,D必为角域的一部分)时,应先考虑用极坐标计算这个二重积分.

(19)分析 (Ⅰ)从求解二阶常系数齐次线性微分方程f″x)+f′x)-2fx)=0入手计算fx)的表达式.

(Ⅱ)将(Ⅰ)中算得的fx)代入978-7-111-46057-2-Chapter02-337.jpg,计算y″,由此可得到曲线978-7-111-46057-2-Chapter02-338.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-339.jpg的拐点.

精解 (Ⅰ)f″x)+f′x)-2fx)=0是二阶常系数齐次线性微分方程,它的特征方程r2+r-2=0有根r=1, -2,所以通解为

fx)=C1ex+C2e-2x. (1)

将式(1)代入f″x)+fx)=2ex

2C1ex+5C2e-2x=2ex

所以,C1=1,C2=0.将它们代入式(1)得fx)=ex.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

所以,978-7-111-46057-2-Chapter02-341.jpg于是由

知,(0,y(0))=(0,0)是曲线978-7-111-46057-2-Chapter02-343.jpg的唯一拐点.

附注 题中的fx)表达式也可按以下方法计算:

f″x)+fx)=2exf″x)=2ex-fx).将它代入f″x)+f′x)-2fx)=0得

f′x)-3fx)=-2ex (一阶线性微分方程),

它的通解为 fx)=e3xC+e-2x)=Ce3x+ex. (2)

将式(2)代入f″x)+fx)=2exC=0.将它代入式(2)得fx)=ex.

本题是综合题,其有关内容及计算方法见提高篇03,19.

(20)分析 由于978-7-111-46057-2-Chapter02-344.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-345.jpg

所以只要证明978-7-111-46057-2-Chapter02-346.jpgx∈(-1,1))即可.

精解x∈[0,1)时有978-7-111-46057-2-Chapter02-347.jpg为了证明这一不等式,作辅助函数978-7-111-46057-2-Chapter02-348.jpg978-7-111-46057-2-Chapter02-349.jpg,则fx)在[0,1)上连续,在(0,1)内可导且

所以,在[0,1)上fx)≥f(0),即978-7-111-46057-2-Chapter02-351.jpg.从而978-7-111-46057-2-Chapter02-352.jpg

由于上述不等式左边是偶函数,因此978-7-111-46057-2-Chapter02-353.jpg在(-1,1)上成立.由此推得978-7-111-46057-2-Chapter02-354.jpg,即

附注 不先化简而直接证明题中不等式是较复杂的,故对它作两次化简:

(ⅰ)将欲证的不等式978-7-111-46057-2-Chapter02-356.jpg左边的函数缩小成978-7-111-46057-2-Chapter02-357.jpg,故只要证明978-7-111-46057-2-Chapter02-358.jpg即可.

(ⅱ)将x限制在[0,1)上,则978-7-111-46057-2-Chapter02-359.jpg又可进一步化简为978-7-111-46057-2-Chapter02-360.jpg

本题的有关证明方法见提高篇05.

(21)分析 (Ⅰ)作辅助函数fnx)=xn+xn-1+…+x-1,只要证明fx)在978-7-111-46057-2-Chapter02-361.jpg上满足零点定理,且在978-7-111-46057-2-Chapter02-362.jpg内单调即可.

(Ⅱ)只要证明{xn}单调有界即可知978-7-111-46057-2-Chapter02-363.jpg存在,然后计算其值.

精解 (Ⅰ)对n=2,3,…,记fnx)=xn+xn-1+…+x-1,则fnx)在978-7-111-46057-2-Chapter02-364.jpg上连续,且

所以由零点定理知方程fnx)=0在978-7-111-46057-2-Chapter02-366.jpg内有实根.

此外,fnx)在978-7-111-46057-2-Chapter02-367.jpg内可导且

fn ′(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1>0,

fnx)在978-7-111-46057-2-Chapter02-368.jpg内单调增加,因此方程fnx)=1,即

xn+xn-1+…+x=1

978-7-111-46057-2-Chapter02-369.jpg内有且仅有一个实根.

(Ⅱ)记方程fnx)=1在978-7-111-46057-2-Chapter02-370.jpg内的唯一实根为xnn=2,3,…),则978-7-111-46057-2-Chapter02-371.jpg,3,…),即{xn}有下界.下面证明{xn}单调减少.对n=2,3,…有

978-7-111-46057-2-Chapter02-373.jpg所以,xnxn+1n=2,3,…),即{xn}单调减少,

因此由数列极限存在准则Ⅱ知978-7-111-46057-2-Chapter02-374.jpg存在,记为A.

由于xn满足xnn+xn-1n+…+xn=1,即

并且由0<xnx2<1知0<xnnx2nn=2,3,…),且978-7-111-46057-2-Chapter02-376.jpg,所以由数列极限存在准则Ⅰ知978-7-111-46057-2-Chapter02-377.jpg于是式(1)两边令n→∞取极限得978-7-111-46057-2-Chapter02-378.jpg,即978-7-111-46057-2-Chapter02-379.jpg.由此算得978-7-111-46057-2-Chapter02-380.jpg

附注 题解中既运用了数列极限存在准则Ⅰ,又应用了数列极限存在准则Ⅱ.本题是综合题,有关内容和计算方法见提高篇02,06.

(22)分析 (Ⅰ)按第一行展开计算行列式A.

(Ⅱ)令|A|=0,算出的a值中能使算对应的方程组Ax=β的通解.978-7-111-46057-2-Chapter02-381.jpgA的秩相等的a即为所求.然后计

精解 (Ⅰ)978-7-111-46057-2-Chapter02-382.jpg

(Ⅱ)由|A|=0,即1-a4=0得a=1,-1.

a=1时,对方程组Ax=β的增广矩阵978-7-111-46057-2-Chapter02-383.jpg施行初等行变换:

由此可知,此时rA)>rA).所以a=1不是所求的.

a=-1时,对方程组Ax=β的增广矩阵978-7-111-46057-2-Chapter02-385.jpg施行初等行变换:

由此可知,此时978-7-111-46057-2-Chapter02-387.jpg,方程组有无穷多解.因此所求的a=-1.由于此时方程组Ax=β与方程组

同解.方程组(1)的导出组978-7-111-46057-2-Chapter02-389.jpg的通解为C(1,1,1,1)T.此外,方程组

(1)有特解(0,-1,0,0)T.所以当a=-1时,方程组Ax=β的通解为

x=x1x2x3x4T=C(1,1,1,1)T+(0,-1,0,0)T(其中C为任意常数).

附注 题解中值得注意的是:满足方程|A|=0的a未必都能使方程组Ax=β有无穷多解,需对方程|A|=0的根作一一检验,检验它们是否满足978-7-111-46057-2-Chapter02-390.jpg

要熟练掌握线性方程组通解的计算方法.

(23)分析 (Ⅰ)由|ATA|=0算出a的值.

(Ⅱ)对(Ⅰ)中算出的a,将对称矩阵ATA正交相似化,即QTATAQ=Λ(对角矩阵),由此得到正交变换x=Qyf的标准形.

精解 (Ⅰ)由于

所以978-7-111-46057-2-Chapter02-392.jpg

于是,由fx1x2x3)的秩为2,即ATA的秩为2得ATA=0,即

(1+a)2(3+a2)=0.

由此得a=-1(容易检验,当a=-1时,rATA)=2).

(Ⅱ)当a=-1时,

E3为三阶单位矩阵,则由

ATA的特征值为λ=0,2,6.

设对应λ=0的特征向量为α=(a1a2a3T,则α满足

显然该方程组有解α=(-1,-1,1)T.

设对应λ=2的特征向量为β=(b1b2b3T,则β满足

显然该方程组有解β=(-1,1,0)T.

设对应λ=6的特征向量为γ=(c1c2c3T,则γ应与αβ正交,故有

显然该方程组有解γ=(1,1,2)T.

由于αβγ两两正交,现将它们单位化:

Q=(ξ1ξ2ξ3),则Q是正交矩阵,且正交变换

x=Qy (其中y=y1y2y3T

使得f=2y22+6y23(标准形).

附注 要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法.

本题是综合题,其有关内容及计算方法见提高篇18.

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