微积分：数学起源与重要地位

2500多年来,数学是人类智力训练和精神遗产的重要组成部分。但是,在17世纪以前,人类关于数学的知识,基本上处于初等数学的阶段。人们常把这个阶段看作常量数学阶段。

17世纪后半叶,产生了微积分学,人类开始了高等数学阶段。微积分学的产生和后来理论上的完善,是人类思维的伟大成果之一。有时人们把这部分数学理论和方法称作数学分析。它处于自然科学基础的地位,无论是对数学的各个分支,还是对科学技术的每一个领域,它都是特别有效的工具。微积分的产生不是偶然的。

17世纪前后,欧洲封建社会逐步产生了商业资本和工场,开始了一个叫做工业革命的历史时期。工业的兴起,促进了机器生产。为了设计和制造机器,就需要掌握机械运动的规律。工业产品的大量生产,迫使交通情况改善,而水路的运输,就要求掌握流体运动的规律以及对于船只稳定性(质点力学)的研究。航海需要掌握天体运动的规律。为了打开商品市场和掠夺原料,发生对外战争,需要研究弹道曲线。所有这些生产和技术的大量问题,迫切要求力学、天文学等基础学科的发展。但是这些学科离不开数学,从而推动了数学的发展。

在16世纪,开始出现变量数学。17世纪,笛卡儿和费马开始解析几何的研究,有了变量概念,并把运动的函数关系和几何中的曲线问题的研究统一起来。这使微积分成为必要,而且有了可能。恩格斯指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完发的,但不是由他们发明的。“(《自然辩证法》)恩格斯关于微积分的产生的概述,为以后数学家所公认。

微积分是紧密地跟力学和整个物理学联系在一起产生的,而且微积分的最伟大的成就总是和解决上述学科所提出的问题有关。经过了一些发展过程,微积分摆脱了力学方式,进而研究一般的函数。后来形成的极限概念完善了微积分的理论基础,进而发展成为数学分析。微积分的发展,不仅成了数学的中心和主要部分,而且还渗透到数学的许多领域,甚至较古老的范围,如代数、几何、以至最古典的数论。

将微积分用于几何,就从几何中分离出一个特殊分支——微分几何,它是关于曲线和曲面的一般理论。微分几何和解析几何现在在几何学中占据着统治地位。(www.xing528.com)

数学分析的重要分支——微分议程,无论在力学、流体力学,还是在电磁场理论中,都占重要地位。19世纪出现的数学重要分支——复变函数数论,使数学分析的内容更加充实,它不介理论本身的内容丰富,而且能渗透到数学分析的一毓定律中,它对数学,物理学以及技术的许多重要问题的解决都具有重要作用。

用微积分的方法武装起来的概率论,大大丰富了古典概率的内容和方法,它对近代物理学和技术具有越来越大的特殊意义。

微积分还渗入最古老的数论,产生了新的数论分支——分析数论。

可以说,自微积分学确立之后,数学基本上是分析化了。就是近代数学的发展,有时也是与微积分结合在一起的,比如实变函数论就建立在集合论的基础上。当然,分析不能包括数学的全部。比如,在几何、数论和代数中,都保留了它自特有的问题和方法。微积分学的创立在数学中是一个转折,它不但成为高等数学的基础和有效方法,而且在精确科学中提出了宣分析方法。不仅力学,还有热的传导、扩散、振动的传播,化学反应进程的一般规律,电磁学以及许多其他规律,如果不借助微积分概念,简直都不可能在数学上准确地被表述这些规律,这些规律才能用于各种具体情况,才能使上述各学科的问题得到准确的结论。

因此,微积分学(数学分析)不仅是近代数学的基础,也是科学技术不可缺少的极有效的数学工具。