高次方程的求解及数学家塔塔里亚的突破

许多数学家曾为探求三次方程的解法奥秘进行过不懈的努力。漫漫时间长河中,除了取得个别方程的特解外,都没有人能取得实质性的进展,有人怀疑这样的公式解是否存在。

然而,16世纪在意大利最为古老的波伦亚大学,有一位数学教授费洛依旧执着地追求着。公元1505年,费洛宣布,他找到形如x3＋px＝q的一个特别情形的解法。费洛当时没有公开发表自己的成果,以至于人们至今还无法完全解开费洛解法之谜。人们似乎确切地知道,费洛曾把自己的方法传授给一个得意门生,威尼斯的佛罗雷都斯。

与此同时,在意大利北部的布里西亚,一个从没进过校门的“结巴”也找到了三次方程的解法,他就是当时颇有名气的年轻人塔塔里亚。他幼年丧父,家境贫寒,自己还受过九死一生的磨难。伤痛、恐惧和惊吓,留给他一个口齿不灵的结巴毛病。后来他干脆改名为“塔塔里亚”,即意大利语“结巴”的意思。塔塔里亚天资聪敏,勤奋好学。他研究物理,钻研数学,很快地显露出超人的才华,尤其是他发表的一些论文,思路奇特,见地高远,表现了他相当深的数学造诣,从而一时间遐迩闻名。塔塔里亚的自学成才,受到了当时科班出生的一些人的轻视和妒忌。公元1530年,布里西亚的一位数学教师科拉向塔塔里亚提出了两道挑战性的问题,想以此难倒对方,这两道题是:

(1)求一个数,其立方加上平方的3倍等于5。

(2)求三个数,其中第二个数比第一个数大2倍,第三个数又比每二个数大2,它们的积为1000。

这实际是两道求三次方程实根的问题,前一个问题方程是x3＋3x2－5＝0,后一个问题的方程是9x3＋6x2＋8x－1000＝0。塔塔里亚求出了这两个方程的实根,从而赢得了这场挑战,并为此名声大震。

消息传到波利亚,费洛的学生费罗雷都斯听到在布里西亚,居然也有人会解三次方程,心中感到有点不是滋味。他原以为自己得名师单传,此生此世该是只此一家,别无分店。不料半路杀出一个“程咬金”,而且还是一个不登大雅之堂的小人物,怎能使人信服?于是几经协商,终于决定于1535年2月22日在意大利第二大城市米兰,公开举行数学竞赛。双方各出30道问题,在两小时之内决定胜负。

赛期渐近,塔塔里亚因自己毕竟是自学出山而感到有些紧张。他想,佛罗雷都斯是费洛的登门弟子,保不准他会拿解三次方程来难自己,那么自己要怎样对付呢?再说自己已经掌握的一类解法跟费洛的解法相差多远呢?他苦苦思索着,脑海中的思路不断进行着各种新的组合,这些新的组合终于撞击出灵感的火花。在临赛前八天,塔塔里亚终于找到了进一步解三次方程的办法。为此他欣喜若狂,并充分利用剩下的八天时间,一面熟悉自己的新方法,一面精心地构造了30道只有运用新方法才能解出的问题。(www.xing528.com)

2月22日那天,米兰的哥特式大理石教堂内,人头攒动,热闹非凡,大家翘首等待着竞赛的到来。比赛开始了,双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题。但见塔塔里亚从容不迫,运笔如飞,在不到两小时的时间内,解完了佛罗雷都斯的全部问题。与此同时,佛罗雷都斯提笔拈纸,望题兴叹,一筹莫展,终于以0∶30败下阵来!

由于16世纪初那场激动人心的论战,导致了三次、四次方程公式解的发现。16世纪中叶以后,人们开始致力于五次方程一般解法的探求。

人们在长时间地摸索着,无数数学家为此绞尽脑计,耗尽心血,终无所获。公元1778年法国数学大师拉格朗日(Lagrange,1736—1813年)终于开辟了一条新径。他猜测这样的公式解是不存在的!但无法加以证实。他为自己智穷力竭而感慨万千。

人类的智慧面临着挑战,攻坚的接力棒传了下去,接它的是一位挪威的年轻人阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802—1829年)。开始,阿贝尔仿照前人的做法,正面去寻求解答。在连续遭受挫折之后,经过深思熟虑,他终于悟出了一条真理∶200年的失败,暗示着四次以上的方程不可能有根式解。公元1824年,阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程不可能有根式解,当时他才22岁。200多年困惑人类的悬案,居然被一个不知名的年轻人解决了,这可能吗?一份份杂志婉言拒绝发表他的论文。

然而,一般的五次方程不能用根式求解,不等于说任何一个具体的五次方程,都不能用根式求解。19世纪20年代,欧洲大陆的数学史上出现了两颗耀眼的新星中除了刚才讲到的挪威年轻数学家阿贝尔,另一颗则是法国天才数学家伽罗瓦(Evariste Galois,1811—1832年),彻底解决这个问题的就是伽罗瓦。1827年,16岁的伽罗瓦开始致力于方程论的研究,这时,22岁的阿贝尔成功的消息传来,伽罗瓦大为振奋。但他觉得:虽然“阿贝尔的杰出成就轰动世界,但他还没有解决哪些方程可以用根式求解,哪些不能”。于是这个问题就成了伽罗瓦的主攻方向。

1828年,17岁的伽罗瓦遇到了一位杰出的数学教师查理德。在理查德的精心指导下,伽罗瓦非凡的数学才能被充分挖掘,并开始取得了具有划时代意义的成果,彻底解决了代数方程有根式解的条件问题。伽罗瓦为此欣喜若狂,他立即把自己的发现写成论文,但没有得到足够的重视和认可。

伽罗瓦一生的遭遇和阿贝尔有着惊人的相似:同样地逆境成才,同样地研究五次方程,同样地受到老师的巨大影响,同样地研究成果受冷遇,同样地过早陨落,而且同样地在死后才得到荣誉。