分数与小数：数学起源，古埃及创单分数为基本元素

最早出现的分数叫做“单分数”,它是以“单位”为整体,对单位进行分割后的部分。早在公元前1700年,古埃及人已经对“单分数”有了完整的认识,并且能用若干“单分数”来表示其他的分子大于1的分数。

人类文明大多发源于大河之畔。在埃及的尼罗河、巴比伦的底格里斯河和幼发拉底河以及中国的黄河之畔,最早出现了人类文明的曙光。在古代埃及的尼罗河河畔和沼泽地带,盛长着一种水草,埃及人用这种水草造纸,用来记载事物。用这种水草造的纸被称为“纸草纸”。1858年,英国学者主亨利·莱因特,把在特贝的废墟上发现的纸草纸修补完善。它至今仍被珍藏在伦敦的大英博物馆内。这本书直到1877年才被翻译出来。这是一位名叫艾塞洛尔的德国考古学家费尽心机获得的成果。根据他的译文,人们才知道,这是公元前1650年左右埃及的神官阿梅斯撰写的一部数学著作,总结了当时已为人们所掌握的数学知识。于是,这本书以其发现者的名字命名,叫做《莱因特的纸草书》。

这本书较为完整地记录了当时埃及人对分数认识的成果。埃及人对单分数的认识比起原始的孤立的分数概念前进了一大步。它使分数不仅能作为一个量的表示形式,而且可作为与自然数学并用于计算的数。但是,古埃及人把“单分数”作为一切分数的“基本元素”。除了2/3外,把所有的分子大于2的分数,统统用单分数表示,例如7/8写成1/2＋1/4＋1/8,5/6写成1/2＋1/3。这样,反而使一个简单的分数复杂化了。

单分数远不是分数的全部。完整的分数概念是建立在整数之比基础上的,它产生于整数的除法之中。在我国很早就有合理的分数表示法,在筹算中,除法本身就已经包含了分数的表示法。我国的《九章算术》是世界上最早的系统叙述分数的著作,比欧洲要早出1400余年。大约在公元三四世纪,印度才开始出现与我国同样的分数表示法。在《九章算术》“方田章”中,就有关于“约分”、“通分”、“合分”(分数加法)、“减分”(分数减法)、“乘分”(分数乘法)、“经分”(分数除法)、“课分”(分数的大小比较)、“平分”(求分数的平均数)等分数运算法则的记载。其中约分法与现在一样,先求最大公约数,后用最大公约数分别除分子、分母。在做除法时,将除数的分子、分母颠倒而与被除数相乘,这在当时来说是很了不起的创造。(www.xing528.com)

小数,即不带分母的十进分数。小数的产生有两个前提:一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数,使分数与整数在形式上获得了统一。我国对小数的认识在世界上也是最早的。公元3世纪,我国数学家刘徽在注释《九章算术》中处理平方要根问题时就提出了十进小数。

虽然我国对小数的认识远远早于欧洲,但现代数学中所使用的小数的表示法却是从欧洲传入我国的。欧洲关于十进小数的最大贡献者是荷兰工程师斯蒂文(Simon Stevin,1548—1620)。他从制造利息表中体会到十进小数的优越性,因此他竭力主张把十进小数引进到整个算术运算中去,使十进小数有效地参与记数。不过,斯蒂文的小数记法并不高明,如139.654,他写作135⊙6①5②4③,每个数后面圈中的数是用来指明它前面数字位置的,这种表示方法,使小数的形式复杂化,并且给小数的运算带来很大的麻烦。1592年,瑞士数学家布尔基(Jobst Burgi)对此作出较大的改进。他用一空心小圆圈把整数部分和小数部分隔开,比如把36.548表示为36。548,这与现代的表示法已极为接近。大约过了一年,德国的克拉维斯,首先用黑点代替了小圆圈。他在1608年发表的《代数学》中,将他的这一做法公之于世,至此,小数的现代记法才被确立下来。