《数学起源：算术与代数发展历程》

人类有数的概念,与人类开始用火一样古老,大约在三十万年前就有了。但是有文字记载的数学到公元前3400年左右才出现。至于数字的四则运算则更晚,在我国,《九章算术》是古代数学最重要的著作,是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作,成书年代至迟在公元前一世纪。这是一本问题集形式的书,全书共246个题,分成九章,包含十分丰富的内容。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方,也或迟或早地出现了这些内容,而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容,现在每个人在童年时代花几年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容,现在每个人在童年时代花几年就全部学会了。对于“算术”来讲,“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”,这个工具与方法是“数字符号化”,从而产生了另一门数学“代数”,即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国,这已是宋元时代(约十三世纪五六十年代),当时的著作中,有“天元术”和“四元术”,也就是让未知数记作为“天元”、“x”,后来将二个、三个及四个未知数记作为“天”、“地”、“人”、“物”等四元,也就是相当于现在用x,y,z,w来表达四个未知数,有了这些“元”,也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。在西方彻底完成数字符号化是在十六世纪。现在中学生学习的“代数”的内容:包括一元二次方程的解,多元(一般为二元,三元至多四元)联立方程的解等。当然在“数字符号化”之前,一元二次方程的解,多元联立方程的解也是已经出现,例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”,但这些都是用文字来表达的,直到“数字符号化”之后,才出现了现在中学代数的内容的形式。

由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容,的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”,“算术”顾名思义,可以理解为“计算的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年。但在中学的课程中,却只花短短的几年,就可以全部学会这些内容。

在小学学习“算术”课程时,感到很难,例如:求解“鸡兔同笼”题,即:一个笼子中关着若干只鸡,若干只兔,已知共有多少个头,多少只脚,求有多少只鸡,多少只兔?当时老师讲的求解的方法,现在已完全记不得了,留下的印象是感到很难,而且纳闷的是:鸡与兔为何要关在一个笼子里?既数得清有多少个头及多少只脚?为何数不清有多少只鸡与多少只兔?等到初中时,学习了“代数”课程,才恍然大悟,这不过是二元一次联立代数方程组,解方程组十分简单方便,这不仅可以用来解“鸡兔同笼”,即使将鸭与狗关在一个房间中,来数头数与脚数,不妨叫做“鸭狗同室”问题,对这样的问题一样可以解。因之,“代数”显然比“算术”来得“高级”,这的确是“更有力的工具和更简单的方法”,而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”,也就是从“代数”的角度来理解“算术”可以理解得更深刻,而可以把“算术”中一些复杂的,处理个别问题的方法抛到一边去。

尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”,是“更有力的工具与更简单的方法”,但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了,因为:

(1)“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代,如四则运算等；

(2)即使能被替代的内容,适当的学习一些,有利于对“代数”内容的认识与理解；

(3)从教育学的角度考虑,这里有循序渐进的问题,有学生不同年龄段的接受能力的问题等等。

作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组,在中学“代数”的教材中,一般着重讲二元或三元一次联立方程组,所用的方法往往是消元法。但是如果变元为四个或更多时,就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力,矩阵的想法产生了,这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论,而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”,由于“更有力的工具和更简单的方法”,即“矩阵”的发现,不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚、更为深刻,由于有了统一处理方法,可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。

当然,“线性代数”是大学的课程,但它的产生的确再次印证了Hilbert所说的那段话。在中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程,在古代,例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法,后来有很多的发展,直到alkhowarizmi(约783—850年)相当于给出了一般形式的一元二次方程。(www.xing528.com)

1545年G.Cardano(1501－1576年)公布了由N.Fontana(1499－1557年)发现了解一元三次方程的解,而一元四次方程的解由L.Ferrari(1522—1565年)所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解,即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了二个世纪的努力,大批数学家都失败了,直到1770年J.·Lagrange(1736—1813年)看到了五次及高次方程不可能做到这点,又过了半个世纪,1824年,N.·Abel(1802—1829年)解决了这个问题,即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么样的特殊的代数方程能用根式来求解,这是E·Galois(1811—1832年)所解决,而更为重要的是:为了解决这个问题,他建立起“群”的概念,这就意味着现代代数理论的产生,这是又一次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”,即“群”的发现而造成的,有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论,可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题,而的确可以把以往那些“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。

虽然“群”等近代代数的内容已超出中学教学的内容,但代数方程求根式解问题的提出到彻底解决,这三百年的过程,十分确切地印证了前面不断重复的Hilbert所说的那段话。

“群”的作用在历史上及现代数学中都是不可估量的。例如:1872年Klein提出著名的Erlanger Programm,即认为各种几何学就是研究各种不同变换群下的不变性质。这个数学思想,不仅对几何学的发展,而且对整个数学的发展起了巨大的作用。

今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度表示0℃,则开水的温度为＋100℃,而零下10℃则记为－10℃。若以海平面为0点,则珠穆朗玛峰的高度约为＋8848米,最深的马里亚纳海沟深约－11034米。在日常生活中,人们常用“＋”表示收入,用“－”表示支出。可是在历史上,负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。

古人在实践活动中遇到了一些问题:如两人相互借用东西,对借出方和借入方来说,同一东西具有不同的意义；再如从同一地点,两人同时向相反方向行走,离开出发点的距离即使相同,但其表示的意义却不同。久而久之,古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的,似乎还应加上表示方向的符号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题,逐渐产生了负数。

我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用负数,而且明确指出若“卖”是正,则“买”是负；“余钱”是正,则“不足钱”是负。刘徽注《九章算术》,定义正负数为“两算得失相反”,同时还规定了有理数的加、减法则,认为“正、负术曰:同名相益,异名相除。”这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是“减”和“加”,这些思想,西方要迟于中国八九百年才出现。

印度在公元7世纪才采用负数,公元628年,印度的《婆罗摩修正体系》一书中,把负数解释为负债和损失。在西方,直到1484年,法国的舒开才给出了二次方程的一个负根。1544年,德国的史提菲把负数定义为比任何数都小的数。1545年,意大利的卡当著《大法》,成为欧洲第一部论述负数的著作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中,但却迟迟得不到学术界的承认,直到17世纪,数学、力学、天文学获得广泛发展,使用负数可以大大简化计算,所以负数才正式进入了数学。特别是1637年,法国数学家笛卡儿发明了解析几何学,建立了坐标点,将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起来,使负数得到了解释,从而加速了人们对负数的承认。但直到19世纪,德国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后,负数才在现代数学中获得巩固的地位。