数学起源：复数萌芽、形成与发展

真实的虚数

“虚数”这个名词,使人觉得挺玄乎,好像有点“虚”,实际上它的内容却非常“实”。

虚数是在解方程时产生的。求解方程时,常常需要将数开方,如果被开方数是正数,就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数,那怎么办呢?

比如,方程x2＋1＝0,x2＝－1,x＝。那么有没有意义呢?很早以前,大多数人都认为负数是没有平方根的。到了16世纪,意大利数学家卡当在其著作《大法》(1545年)中,把记为R··15,这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡儿,在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,并和“实数”相对应。

直到19世纪初,高斯系统地使用了这个符号,并主张用数偶(a、b)来表示a＋bi,称为复数,虚数才逐步得以通行。

由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡儿称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为:“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说一切形如的数学式都是不可能有的,纯属虚幻的。

继欧拉之后,挪威测量学家维塞尔提出把复数(a＋bi)用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路。现在,复数一般用来表示向量(有方向的量),这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛,虚数越来越显示出其丰富的内容。真是:虚数不虚!

虚数的发展说明了:许多数学概念的产生并不直接来自实践,而是来自思维,但只有在实际生活中有了用处时,这些概念才能被接受而获得发展。

虚数的发展

在学习开方时,总是要再三强调,被开方数一定要是非负数,被开方数为负数时,开方没有意义,众所周知,人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在,我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。

在很久以前,大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年,意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分,使其乘积为40的问题,方程是x(10－x)＝40,他求得根为5－和5＋,然后说,“不管会受到多大的良心责备”,把5－和5＋相乘,得乘积为25－(－15)或即40,卡尔丹在解三次方程时,又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处,但当时,人们对它的认识也仅止于此。

“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡儿在1637年率先提出来的。而用i＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上,把实数和虚数结合起来,记成a＋bi形式,称为复数。

在虚数刚进入数的领域时,人们对它的用处一无所知,实际生活中也没有用复数来表示的量,因而,最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它,但也认为虚数是虚幻的。

测量学家维塞尔用a＋bi表示平面上的点。后来,高斯的复平面的概念,使复数有了真正的立足之地,从此复数就开始表示向量(有方向的数量),在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。

神秘的虚数(www.xing528.com)

可以说对复数的认识是人类对数的认识的又一个里程碑。在达到这个里程碑之前,对数的探索历程可以说已经历尽坎坷。回顾负数、无理数等的产生历史,我们便深感科学每前进一步的艰辛。

公元1484年,法国数学家舒开(Chuquet,1445—1500年)在一本书中,把方程4＋x2＝3x的根写为x＝3/2±,尽管他一再声明这是不可能的,但毕竟是第一次形式上出现了负数的平方根。

第一个正视负数平方根的是16世纪意大利的“怪杰”卡丹(Girolcomo Cardano,1501—1576年)。他于1545年在讨论了这样一个问题,若将10分为两个部分,而使两者之积等于40时,列出方程:x(10－x)＝40。

尽管这个问题没有实数解,然而,假如把答案写成5＋和5－这样的令人诧异的表示方法时,就能满足题目的要求。卡丹认为这个结果是正确无误的,但他却不能给予解释。

卡丹之后,数学家们接触这种“虚幻”的数越来越多。大约100年之后,公元1637年,笛卡儿在他的《几何学》一书中,给这种虚幻数起了一个“虚数”的名字,但仍摒弃方程的虚根。牛顿和莱布尼茨都不承认复数的意义,认为复数是“介于存在与不存在之间的两栖物”。又大约过了140年,大数学家欧拉开始用I(imaginary虚幻)表示。

最初,虚数给人的感觉是虚无缥缈的,在数轴上找不到它的位置。一位富有想像力的英国教授瓦里斯曾给虚数一个奇妙的解释,他说假定某人欠地10亩,即他有－10亩地,而这－10亩地又恰好是个正方形,那么它的边长不就是＝了吗?

对虚数的认识是直至18世纪人们对复数有了明确的认识之后才逐渐成熟起来,这是随着对微积分研究的深入,人们首先认识到复数的性质和意义。挪威数学家韦塞尔(Wessel,1745—1818年)于1788年在他的《关于方向的分析表示:一个尝试》的论文中,在用几何方法表示有向线段以及它们的运算时,引进了一个虚轴,以作为一个单位线段来表示复数a＋b的几何意义,韦塞尔用几何术语定义的复数以及平面向量的运算法则直到今天仍在运用。

另一个对数的发展起推动作用的是爱尔兰数学家哈密顿。哈密顿在大学的经历是独一无二的,1827年当他才22岁还是大学生时就无可争义地被任命为爱尔兰的皇家天文学者和大学的天文学教授。1833年他在向爱尔兰科学院递交的论文中首次将复数的代数形式看作有序实数对,并在这之后又研究了有序三元数组和四元数组,其中的一个历史性突破在于放弃了乘法的交换率,因为当时没有人会这么想:怎么可能会有a×b≠b×a的逻辑代数呢?这是需要顶着压力、拿出勇气的。后来又因为美国数学家吉布斯更方便的向量分析方法,从而有了格拉斯曼的更一般的有序数组,打开了现代抽象代数之门。

16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576年)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成(5＋)(5－)＝40,尽管他认为(5＋)和(5－)这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡儿(1596—1650年),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应。从此,虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1664—1716年)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉(1707—1783年)说；“一切形如习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达郎贝尔(1717—1783年)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a＋的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用i2＝－1)。法国数学家棣莫佛(1667—1754年)在1730年发现公式了(cosθ＋sinθ)n＝cosθ＋sinnθ,这就是著名的探莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式eiθ＝cosθ＋isinθ,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示－1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔(1745—1818年)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

德国数学家高斯(1777—1855年)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”。高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。