数学起源：π的历史与计算技术革新

在无理数中还存在一个很著名的数,那就是圆周率π,它是圆的周长与直径之比,是一个常数,通常用希腊字母π来表示。1706年,英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用,以后,欧拉予以提倡,才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号,π的计算史同时也是人类数学知识与科学技术的发展史,π的研究,在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平,它的历史是饶有趣味的。

在西方,据莱因德纸草书记载,早在公元前1650年的古埃及人就已经根据经验得到了π＝()4＝3.1604。但是单单依靠经验得到的结果是站不住脚的。人们又经过了一千多年的努力,直到公元前240年,古希腊数学家阿基米德通过计算圆内接和外切正96边形周长的古典方法,得到π应该在3与之间。为了计算的方便他把π定为3.14。后来在公元150年,才由托勒密将π精确到3.1416。此后的西方人一直没能对π做进一步的精确。

在我国关于π的值,最早见于中国古书《周髀算经》的“周三经一”的记载。

东汉张衡取π＝3.1466(又取π＝)。第一个用正确方法度算π值的,要算我国魏晋之际的杰出数学家刘徽,他创立了割圆术,用圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积接近于圆面积的方法,一直算到正192边形,算得π＝3.14124,又继续求得圆内接正3072边形时,得出更精确的π＝＝3.1416,割圆术为圆周率的研究,奠定了坚实可靠的理论基础,在数学史上占有十分重要的地位。

随后,我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法,祖冲之还找到了两个分数:22/7和355/113,用分数来代替π,极大地简化了计算,这种思想比西方也早一千多年。

祖冲之的圆周率,保持了一千多年的世界记录。终于在1596年,由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数,最后推到第35位。为了纪念他这项成就,人们在他1610年去世后的墓碑上,刻上:3.14159265358979323846264338327950288这个数,从此也把它称为“卢道夫数”。

17世纪以前,各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆内接和外切正多边形来进行。1427年伊朗数学家阿尔·卡西把π值精确计算到小数16位,打破祖冲之千年的记录。1596年荷兰数学家鲁多夫计算到35位小数,当他去世以后,人们把他算出的π数值刻在他的墓碑上,永远纪念着他的贡献(而这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束,欲求π的更精确的值,需另辟途径)。

1427年阿拉伯的卡西应用古典方法,将π计算到了小数点后第16位。1596年,荷兰的科伦计算到第20位。1948年1月,费格森与雷思奇合作,算出808位小数的π值。此后人们应用无穷乘积、连分数、无穷级数等法使π的“个子”不断增高。电子计算机问世后,π的人工计算宣告结束。20世纪50年代,人们借助计算机算得了10万位小数的π,70年代又突破这个记录,算到了150万位。时至1983年,π已经长到了800多万位。到90年代初,用新的计算方法,算到的π值已到4.8亿位。作为人们的老朋友。π奇高的“个子”一直使数学家百思不得其解。直到1767年才由朗伯揭开了π的“身高之谜”。原来π是一个无理数(无限不循环小数)。又经过了一个多世纪,林德曼证明了π的超越性。从而揭开了π的最后一层神秘的“纱”。(www.xing528.com)

17世纪以后,随着微积分的出现,人们便利用级数来求π值,1873年算至707位小数,1948年算至808位,创分析方法计算圆周率的最高纪录。

1973年,法国数学家纪劳德和波叶,采用7600CDC型电子计算机,将π值算到100万位,此后不久,美国的科诺思,又将π值推进到150万位。1990年美国数学家采用新的计算方法,算得π值到4.8亿位。

早在1761年,德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。

将π计算到这种程度,没有太多的实用价值,但对其计算方法的研究,却有一定的理论意义,对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。

直正使圆周率计算建立在科学的基础上,首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》,用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。

π的计算经历了几千年的历史,它的每一次重大进步,都标志着技术和算法的革新。