数系通常指自然数、整数、有理数、实数和复数了解数学起源

数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。

数的观念具有悠久的历史,尤其是自然数的观念,产生在史前时期,详情已难以追索,但对数系建立严谨的理论基础,则是19世纪下半期才完成。

自然数

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代,人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如:表示捕获了3只羊,就伸出3个手指；用5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎,出去1天,家里的人就在绳子上打1个结,用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间,随着生产和交换的不断增多以及语言的发展,渐渐地把数从具体事物中抽象出来,先有数目1,以后逐次加1,得到2、3、4……,这样逐渐产生和形成了自然数。因此,可以把自然数定义为,在数物体的时候,用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。自然数的单位是“1”,任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然数有无限多个,1是最小的自然数,没有最大的自然数。

建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate(计算)一词是从希腊文calculus(石卵)演变来的。中国古代《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这都是匹配计算法的反映。

集合的基数具有元素“个数”的意义,当集合是有限集时,该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法(见算术)。

为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应,所对应的最后的项,就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。

皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理,这里“集合”、“含有”、“自然数”、“后继”等是不加定义的。(www.xing528.com)

①是自然数。

②不是任何其它自然数的后继。

③每个自然数都有一个后继(a的后记为)

④a/＝b/蕴含a＝b

⑤设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有a/蕴含S含有,则S含有任何自然数。

公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1,2,3,…,n…},简记为N。

从上述公理出发,可以定义加法和乘法,它们满足交换律与结合律,加法与乘法满足分配律。