圆锥曲线的产生与发展：从倍立方问题到直角圆锥曲线

图1

希腊著名学者梅内克缪斯(公元前4世纪)企图解决当时的著名难题“倍立方问题”(即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍)。他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周,得到曲面ABECE′,如图1。用垂直于AC的平面去截此曲面,可得到曲线EDE′,梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题。”未获成功。而后,便撤开“倍立方问题”,把圆锥曲线做为专有概念进行研究:若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周,得到曲面CB′EBE′,如图2。用垂直于BC的平面去截此曲面,其切口为一曲线,称之为“锐角圆锥曲线”；若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周,可得到曲面BC′ECE′。如图3。用垂直于BV的平面去截此曲面,其切口曲线EDE′称为“钝角圆锥曲线”。当时,希腊人对平面曲线还缺乏认识,上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到,因此,被称为圆锥曲线的“雏形”。

图2(www.xing528.com)

图3

经过了约二百年的时间,圆锥曲线的研究取得重大突破的是希腊的两位著名数学家奥波罗尼奥斯(公元前三世纪后半叶)和欧几里得(公元前300－前275)奥波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中,系统地阐述了圆锥曲面的定义,利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法与构成,而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究,他发现:(1)椭圆,双曲线任一点M处的切线与MF1、MF2(F1、F2为两定点,后人称之为焦点)的夹角相等；(2)对于椭圆,|MF1|＋|MF2|＝|AA 1|(|AA 1|为常数,且大于|F1 F2|)。(3)对于双曲线,|MF1|－|MF2|＝|AA1|(|AA1|为常数,且小于|F1 F2|)。但是,阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。欧几里得在他的巨著《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义,即:平面内一点F和一定直线AB,从平面内的动点M向AB引垂线,垂足为C,若|MF|∶|MC|的值一定,则动点M的轨迹为圆锥曲线。只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。

又经过了500年,到了3世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中,才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定理进行了证明。他指出,平面内一定点F和一定直线AB,从平面内的动点M向AB引垂线,垂足为C,若|MF|∶|MC|的值一定,则当|MF|∶|MC|的比值小于1时,动点M的轨迹是椭圆,等于1时是抛物线,大于1时是双曲线。至此,圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。