让天文学家寿命翻倍的神奇数-对数

　　对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550－1617年)男爵。

在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数。

当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子:

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、……1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字:64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来:6＋8＝14；第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有:64×256＝16384。

纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗:计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点。

1614年纳皮尔出版了对数表,而且给对数署名为Logarithm,意思为“比之数”,“比”是指等比数列中的公比。从此对数表得到广泛应用,它对当时科学的冲击,就像计算机对现代科学的冲击一样,当时,对数就正如计算机一样,大大简化了计算。

所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。16世纪初,当第一张对数表问世后,法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749－1827年)曾说:对数,可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。(www.xing528.com)

实际上,在耐普尔发明对数之前,对对数的探索早已开始了。15世纪至16世纪,天文学处于科学的前沿,许多学科在它的牵动下发展起来。1471年,德国数学家约翰·谬勒(Johann Muller,1436—1476年)出于天文计算的需要,造出了一张具有八位数字的正弦表。此后,余弦、正切等表也相继出现。但是,对于大数的运算当时并无一个简单的办法,为了确定一个星球的位置,常在计算上花去几个月的时间。能否用加、减运算来代替乘、除运算?这是当时迫切需要思考的问题。德国天文学家约翰·维尔纳(Johann Werner,1468—1528)首先尝试用三角函数来达到目的。维尔纳的方法相当于利用现在我们所熟知的积化和差公式:

sinα·sinβ＝1/2[cos(α－β)－cos(α＋β)]

cosα·cosβ＝1/2[cos(α－β)＋cos(α＋β)]

公式的意思是:若求小于1的两个数a与b的乘积,可以先由三角函数查出使sinα＝a,sinβ＝b的α与β,然后求出cos(α－β)与cos(α＋β),再应用上面的公式求出它们差的一半,就得到了所要求的数。大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此这两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

作为对数的发明人,我们不应忘了另外一个名叫别尔基(J.Burge,1552—1632年)的人,他不是数学家,但他是最先掌握对数思想的人。1603年,别尔基被任命为布拉格地方的宫廷钟表匠,他在那里与著名的数学家和天文学家开普勒一起工作,由于工作的需要,他要利用仪器结合观察的情况作天文计算,这就促使他产生要简化计算的思想,他花了8年的时间完成了他的著作《等差数列和等比数列表》,这是一个等差数列和等比数列对数的表,这些数列更适合运用于实际计算。但他拖延了他的著作的出版,直到1620年出版时,耐普尔的对数已经闻名全欧洲了。

中国人对对数的了解是比较晚的,1648年波兰传教士穆尼阁(P.Nicolas smogolenski,1611—1656年)带着《比例对数表》等各类算书来到中国,1664年,中国学者薛凤祚与穆尼阁共译《天学会通》,其中包括《比例对数表》和《比例四线新表》,前者是1—20000的六位常用对数表,后者是正弦、余弦、正切、余切的六位对数表。