有这样一个传说,一次,数学家欧几里得教一个学生学习某个定理,结束后这个年轻人问欧几里得,他学了能得到什么好处。欧几里得叫过一个奴隶,对他说:“给他3个奥波尔,他说他学了东西要得到好处。”在数学还非常哲学化的古希腊,探究世界的本原、万物之道,而要得到什么“好处”,受到鄙视是可以理解的。这就像另一个故事:在巴黎的一个酒吧里,一个姑娘问她的情人迟到的原因,那年轻人说他在赶做一道数学题,姑娘摇着脑袋,不解地问:“我真不明白,你花那么多时间搞数学,数学到底有什么用啊?”那年轻人长久地看着她,然后说:“宝贝儿,那么爱情,到底有什么用啊?”
世界上有些东西比较可信,有些则不那么可信。这里说的信不是诚信,诚信诉诸道德,解决“说真话”的问题,至于“真话”是否可信,是否正确,那是另一回事。
什么东西可信呢?我看见一个人在那里,我拿着一件东西感到它的重量,这都是很确凿的经验,不好否认。但是经验靠不住也是常识,两个小孩辩论太阳的远近,一个说太阳早晚冷中午热,所以早晚远中午近,另一个说太阳早晚大中午小,所以早晚近中午远,各执一词,把孔夫子都难倒了,古人用日常的直接经验没法解释这样的矛盾。
由经验构成的分散的知识,显然没有成体系的知识可信,我们历来都对知识的体系更有信任感。例如牛顿的力学体系,可以精确地计算物体的运动,即使推测1亿年的日食也几乎丝毫不差；达尔文以物种进化和自然选择为核心的进化论,把整个生物世界统括为一个有序的、有机的系统,使得我们知道不同物种之间的关系。
但是,即使是经典的知识体系,也不足以始终承载我们的全部信任,因为新的经验、新的研究会调整、更新旧的知识体系,新理论会替代旧理论。爱因斯坦相对论的出现,使得牛顿的力学体系成为一种更广泛理论中的特例；基因学说的发展和化石证据的积累,使得达尔文进化论中渐变的思想受到挑战,这样的事例充满了整个科学发展的历史,让我们不时用怀疑的眼光打量一下那些仿佛无懈可击的知识体系,对它们心存警惕。
不过,在人们追求确定性、可靠性的时候,还有一块安宁的绿洲,那就是数学。数学是我们最可信赖的科学,什么东西一经数学的证明,便板上钉钉,确凿无疑。另外,新的数学理论开拓新的领域,可以包容但不会否定已有的理论。数学是惟一一门新理论不推翻旧理论的科学,这也是数学值得信赖的明证。
数学追求什么?我们称古希腊的贤哲泰勒斯是古代数学第一人,是因为他不像埃及或巴比伦人那样,对任意一个规则物体求数值解,他的雄心是揭示一个系列的真理。比如圆,他的答案不是关于一个特殊圆,而是任意圆,他对全世界所有的圆感兴趣,他创造的理想的圆可以断言:任何经过圆心的直线都将圆分割为两等分,他找到的真理揭示了圆的性质。
数学要求普遍的确定性。(www.xing528.com)
数学要划清结果和证明的界限。
世界再变幻不定,我们也总要有所凭信,有所依托,把这种凭信的根据推到极致,我们能体会到数学的力量。数学之大用也在于此。
我们的先人很早就开始用数学来解决具体的工程问题,在这方面,各古文明都有上佳的表现,但是古希腊人对数学的理解更值得我们敬佩。首先是毕达哥拉斯学派,他们把数看作是构成世界的要素,世上万物的关系都可以用数来解析,这绝不是我们现代“数字地球”之类的概念可以比拟的,那是一种世界观,万物最终可以归结为数,由数学说明的东西可以成为神圣的信仰,我想,持这样想法的人,一定对自然常存敬畏,不会专横自欺的。
其次,古希腊人把数学用于辩论,他们要求数学提供关于政治、法律、哲学论点的论据,要求绝对可靠的证据,要求“不可驳斥性”；他们也不满足于(例如埃及、巴比伦前辈那样的)经验性的证据,而是进一步要求证明,要求普遍的确定性。多么可爱、严正的要求!有这样要求的人,必定明达事理,光明磊落。
为了保证思想的可靠,古希腊的思想家制定了思想的规则,在人类历史上,思想第一次成为思想的对象,这些规则我们称之为逻辑。比如不可同时承认正命题和反命题,换句话说,一个论点和它的反论点不能同时为真,即矛盾律；比如一正论点与反论点不可同时为假,即排中律。所有这些努力,都特别体现着人类对确定、可靠的知识的追求,一部数学史,就是人类不断扩大确知领域的历史。
法国作家德尼·盖之撰写的《鹦鹉的定理》是一部通俗的数学史。这本书首先要打破的,是人们对于数学抽象、枯燥的偏见,它用一个生动的故事贯穿始终,其间穿插着“可以和最好的小说家的小说相媲美的故事”,像数学家的故事,比如波斯人欧玛尔·海亚姆,突斯人奈绥尔丁,意大利人塔尔塔利亚,法国人费马,瑞士人欧拉,等等；像数学的故事,比如位置记数法,球面三角,“0”的产生,“＝”的产生,虚数的产生,等等。《鹦鹉的定理》在写作手法上颇像乔斯坦·贾德的小说《苏菲的世界》,尽量通俗地向公众,主要是中学以上文化程度的读者普及数学史的知识,这两本书,一本谈哲学,一本谈数学,恰巧是我们通常认为晦涩高深的学问,然而通过他们深入浅出的叙述,学问依然是学问,面目已经和蔼可亲多了,这是莫大的功德。而最为重要的是,这样的史书弥漫着一团清正睿智之气,引人倾听无声之音,观照无形之象,体察无用之用。
我们可以疏于计算,但是,不能没有数学的滋养。再回到那些最好的数学猜想,几个世纪以来最伟大的数学家们曾为之殚精竭虑的猜想,像费马猜想、哥德巴赫猜想、欧拉猜想等等。想想吧,全世界的人都知道那道理存在,任何人在它们面前都束手无策,这就是所谓的数学猜想!要知道,它绝对简单,极容易断定,一个中等智力的中学生明白起来也不费吹灰之力。这种断定人人都承认其正确性,然而又没有人能证明其真理性。你知道我们为之陶醉、被它激励的原因究竟是什么吗?
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