常用样本统计量分布的计算方法

14.1常用分布

（1）正态分布

N（μ，σ²）是以μ，σ²为参数的正态分布，当X～N（μ，σ²）时，EX=μ，DX=σ².

（2）χ²分布

设X₁，X₂，…，X_n是相互独立且都服从N（0，1）的随机变量，则

Y=X²₁+X²₂+…+X²_n～χ²（n）（即自由度为n的χ²分布），并且EY=n，DY=2n.

（3）t分布

设随机变量X～N（0，t），Y～χ²（n），且X与Y相互独立，则（即自由度为n的t分布）.

（4）F分布

设随机变量X～χ²（n₁），Y～χ²（n₂），且X与Y相互独立，则（即自由度为n₁，n₂的F分布）.

14.2常用样本统计量分布的计算

（1）一个正态总体情形

设简单随机样本X₁，X₂，…，X_n来自正态总体X～N（μ，σ²）.记（样本均值），（样本方差），则，即

（2）两个正态总体情形

设简单随机样本X₁，X₂，…，与Y₁，Y₂，…，分别来自相互独立正态总体x～N（μ₁，σ²₁）和N（μ₂，σ²₂），记

则

例14.1 设X₁，X₂，X₃，X₄是来自总体x～N（0，2²）的简单随机样本，并且统计量U=a（X₁-2X₂）2+b（3X₃-4X₄）2～χ²（n）（a>0，b>0），求常数a，b及自由度n之值.

精解 由于U只有两个平方项，所以n=2，下面计算a，b之值.

按χ²分布的定义，要使U～χ²（2），必须a（X₁-2X₂）～N（0，1），b（3X₃-4X₄）～N（0，1）.于是，

由D[a（X₁-2X₂）]=a（4+4×4）=20a=1得

由D[b（3X₃-4X₄）]=b（9×4+16×4）=100b=1得

例14.2 设X₁，X₂，…，X₉是来自总体N（μ，σ²）的简单随机样本，记(https://www.xing528.com)

求统计量所服从的分布.

精解

所以

由于S²是样本X₇，X₈，X₉的方差，所以此外，与相互独立（这是由于Y₁、Y₂都与S²相互独立）.

因此，由t分布定义得

例14.3 设X₁，X₂，…，X₁₅是来自总体（0，2²）的简单随机样本，求统计量所服从的分布.

精解 由于，所以由F分布定义得

例14.4 设X₁，X₂，…，X_n（n>2）是来自总体x～N（0，1）的简单随机样本，记，i=1，2，…，n.求：

（1）统计量Y₁所服从的分布；

（2）统计量Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n）.

精解 （1）由于X₁，X₂，…，X_n相互独立，且都服从N（0，1），所以

服从正态分布.

由于

因此，

（2）Cov（Y₁，Y_n）=Cov（X₁-X，X_n-X）

例14.5 设X₁，X₂，…，X_n是总体N（0，1）的简单随机样本，记，求统计量T的方差.

精解 由与S²相互独立知与相互独立，所以

其中，由知，从而有，因此

由（n-1）S²～χ²（n-1）知

将式（2）、式（3）代入式（1）得