矩阵特征值和特征向量的计算方法

设A是n阶矩阵，则A的特征值是方程|λE-A|=0（E是n阶单位矩阵）的根，而（λE-A）x=0的非零解是A的对应特征值λ的特征向量.

A的特征值与特征向量有以下性质：

（1）对应A的不同特征值的特征向量线性无关.

（2）A的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n之和为trA，之积为A.

（3）设λ，ξ分别是A的特征值及其对应的特征向量，则f（A）有特征值f（λ）及其对应的特征向量ξ，其中f（λ）是λ的多项式.

（4）当A可逆时，A的特征值全不为零.设λ，ξ分别是A的特征值及其对应的特征向量，则A^-1有特征值及其对应的特征向量ξ；A^∗有特征值及其对应的特征向量ξ.

（5）当λ，ξ分别是A的特征值及其对应的特征向量，则P^-1AP有特征值λ及其对应的特征向量P^-1ξ.

利用特征值与特征向量的性质，往往能快捷地计算矩阵式的特征值与特征向量.

例10.1 设3阶矩阵A满足|A-2E|=0，|A+2E|=0，|2A-3E|=0（E是三阶单位矩阵），求A的行列式.

精解 由|A-2E|=0，即|2E-A|=0得2是A的特征值.

由|A+2E|=0，即|-2E-A|=0得-2是A的特征值.

由|2A-3E|=0，即得是A的特征值.

由此算得三阶矩阵A的3个特征值，所以

例10.2 已知二阶矩阵A及2维列向量x满足A²x+2Ax-3x=0，且x与Ax线性无关，求A的全部特征值与特征向量.

精解 由题设A²x+2Ax-3x=（A+3E）（A-E）x （E是二阶单位矩阵）

=（-3E-A）（x-Ax）

=（E-A）（-Ax-3x）

=0

知，二阶矩阵A的特征值为λ=-3，1，并且由x与Ax线性无关知x-Ax≠0，所以对应λ=-3的特征向量为C₁（x-Ax）；同理可知-Ax-3x≠0，所以对应λ=1的特征向量为C₂（-Ax-3x），其中C₁，C₂都是任意非零常数.

例10.3 设矩阵，，B=P^-1A^∗P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A^∗是A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵.

精解 由知A的特征值为λ=7，1（二重）.

设对应λ=7的特征向量为α₁=（x₁，x₂，x₃）^T，则α₁满足

由于

所以

α₁=C₁（1，1，1）^T=（C₁，C₁，C₁）^T （C₁是任意非零常数）.

设对应λ=1的特征向量为α₂=（y₁，y₂，y₃），则由A是实对称矩阵知

α₂·α₁=0， 即 y₁+y₂+y₃=0，(https://www.xing528.com)

所以

α₂=C₂（-1，1，0）^T+C₃（-1，0，1）^T=（-C₂-C₃，C₂，C₃）^T （C₂，C₃是不全为零的任意常数）.

于是A^∗的特征值为，（二重）对应的特征向量分别为α₁，α₂.

由此可得B的特征值为μ=1，7（二重），对应的特征向量分别为

因此 B+2E的特征值ν=1+2=3，7+2=9（二重），对应的特征向量分别为

β₁=C₁（0，1，1）^T，β₂=C₂（1，-1，0）^T+C₃（-1，-1，1）^T.

例10.4 设矩阵，其行列式A=-1，又伴随矩阵A^∗有一个特征值λ，属于λ的特征向量α=（-1，-1，1）^T，求a，b，c，λ的值.

精解 由题设可知，是A的特征值，其对应的特征向量为α，所以有（E是三阶单位矩阵），

即

由此得到

化简后得

即a=c，b=-3，λ=1.

再由A=-1，即，得a=c=2.因此所求的a=2，b=-3，c=2，λ=1.

例10.5 设A是三阶实对称矩阵.

（1）当秩r（A）=2，且时，求A的所有特征值与特征向量；

（2）当A的各行元素之和均为3，且向量α₁=（-1，2，-1）^T，α₂=（0，-1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解时，求A的所有特征值与特征向量.

精解 （1）由题设得

所以A有特征值λ=-1，1，它们对应的所有特征向量分别为

C₁-α₁=C₁（1，0，-1）^T，C₂α₂=C₂（1，0，1）^T.

其中，C₁，C₂都是任意非零常数.

由于r（A）=2，即A=0，所以A还有一个特征值为0，设它对应的特征向量为α₃=（x₁，x₂，x₃）^T，则由A是实对称矩阵知

由此得到α₃=C₃（0，1，0）^T（C₃是任意非零常数）.

（2）由A的各行元素之和均为3知，，即A有特征值λ=3，其对应的特征向量为ξ₁=C₁（1，1，1）^T（C₁是任意非零常数）.

由α₁、α₂是Ax=0的两个解，知Aα₁=0·α₁， Aα₂=0·α₂，

即A有特征值λ=0（二重，这是因为α₁、α₂线性无关），且其对应的特征向量为

ξ₂=C₂α₁+C₃α₂=（-C₂，2C₂-C₃，-C₂+C₃） （其中C₂，C₃是任意不全为零的常数）.