幂级数收敛域与和函数计算技巧

6.1幂级数收敛域的计算方法

收敛域不为{0}的幂级数的收敛域可按以下步骤计算：

（1）用以下方法算出的收敛区间：

如果存在为ρ，则当ρ≠0时，的收敛区间为；当ρ=0时，的收敛区间为（-∞，+∞）.

如果不存在时，将理解成（其中对n=0，1，2，…，u_n（x）不恒为零），然后计算（或），如果它们为ρ（x），则收敛区间为{xρ（x）<1}.

（2）由收敛区间计算收敛域：

当的收敛区间为（-∞，+∞）时，收敛域也为（-∞，+∞）.

当的收敛区间为（-R，R）（R>0）时，考虑在点x=-R，R处的收敛性，将其中的收敛点并入收敛区间即得收敛域.

例6.1 求幂级数的收敛域.

精解 记，则

所以，所给幂级数的收敛区间为

当x=-3，3时，所给幂级数分别为

由于这两个级数的通项都不为零，所以发散.因此所给幂级数的收敛域为（-3，3）.6.2幂级数的和函数的计算方法

幂级数的和函数可以按以下方法计算：

（1）对进行适当的代数运算，或作适当的变量代换，使其成为常用函数（指e^ax，sinax，cosax，ln（1+ax），（1+ax）μ，这里a，μ都是常数）的麦克劳林级数，从而求得的和函数.有时将表示成几个幂级数之和，然后对每个幂级数都作以上处理，由此算得的和函数.(https://www.xing528.com)

（2）对在收敛区间内进行求导数或求二阶导数，或求积分，即

使其成为某个常用函数的麦克劳林级数，由此通过积分、二次积分或求导算得的和函数.

例6.2 求幂级数的收敛域与和函数.

精解 所以，所给幂级数的收敛域为（-∞，+∞），和函数

例6.3 求下列幂级数的收敛域与和函数：

精解 （1）

显然，

此外，对x∈（-1，1），记

则

所以

将式（2）、式（3）代入式（1）得

（2）记，则

所以，所给幂级数的收敛区间为（-1，1）.由于x=-1，1时，所给幂级数都为，收敛.因此收敛域为[-1，1].对x∈[-1，1]，有