跨行政区水污染合作：实现自给自足

在自给自足型中，每个地区都只愿意在本地投资环境项目治理本地区所在河段的污染问题。用Γ1（s0，T - t0） 来表示两地区之间的随机微分博弈，由于s（t）依赖一些不确定的因素，因此它的进展变化取决于随机微分方程

其中，δ 表示各地污染自然吸收率，σ 表示噪声参数，z（t）表示维纳过程。在时间点t0，地区1 和地区2 的期望利润的现值可分别表示为

其中，表示在时间点t 地区i 获取的利润，给定一个随时间变化的贴现率r（t），地区i 在时间点t 所获需要根据贴现因子e-r（t-t0） 进行贴现。表示在结束时间点T 地区i 将获得的终点利润。如果污染存量的终值水平高于地区i 的限定值， 地区i 将为此支付罚金；如果污染存量的终值水平低于地区i 的限定值0，地区将获得奖励。利用反馈纳什均衡解法对式（7.5）、式（7.6）求解如下[36，143]：

令为构成原博弈纳什均衡的一个反馈策略集合，当存在连续可微期望利润函数V（t0）i=（t，s） ×Rm →R 时，满足方程

为使偏微分方程集合的第一、第二条方程式的右边进行最大化，便得出最大化条件为

将式（7.8）分别代入式（7.7）并解之，便得两地区的利润函数的现值为(www.xing528.com)

式（7.9）中的A1（t）、B1（t）、A2（t）、B2（t）必须满足以下动态系统和边际条件：

将式（7.9）代入式（7.8）可得

令ε（τ）i（τ，sτ） 为各地区在时间点τ获得的利润函数，Pi（τ，sτ） 为随机微分博弈中各地区在时间点τ获得的瞬时利润，可以由下式计算得到，即

而在结束时间点T，每地区都将得到终点利润- gi[s（T） - ¯si]。