跨行政区流域水污染防治合作机制研究：静态合作博弈

静态合作博弈可以用一个有限的局中人（Player）集合N 和一个定义在集合N 内的特征函数（Characteristic Function）V 所组成的（N， V）形式表示，它是从2N到实数集RN 的映射，且V（Φ）= 0。令N={1，2，…，n}（其中n 为正整数）表示局中人集合，则它是由所有对问题结局有影响的独立利益主体构成的，集合中的每个元素代表一个局中人。全体局中人集合N 称为大联盟（Grand Coalition）； s为任意一个非空子集，即∀s⊆N，s≠Φ，称s 为N 的一个联盟；单个局中人则看作一个特殊的联盟。特征函数V 会对集合N 中的每一个可能的非空子集进行赋值，其值为一个实数，称为联盟值。V（N）表示全体局中人共同合作所能得到的效用；V（s）表示联盟s 中局中人相互合作所能得到的效用；V（i）表示第i 个局中人不与任何人联盟时所能得到的效用[116]。效用可能是得益（正效用），也可能是成本（负效用）。用n 维向量x={x1， x2， …， xn}表示合作博弈中各局中人各自可以获得的效用，并称其为分摊向量。要使合作能够成立，特征函数需要满足下面3 个条件[117]：

条件1 称为特征函数的超可加性，即联盟一起行动至少可以做得与各局中人单独行动一样好，如果一个联盟不满足超可加性，那么其成员没有动机形成联盟，即无法形成合作博弈的基础；条件2 称为集体理性，即每个局中人分配的效用总和应当与联盟总效用相等，通常也被称为帕累托最优性条件；条件3 称为个体理性，说明联盟中个人分配到的效用不小于单独行动时分配到的效用，即分配必须使每个人都能得到更多的好处，否则将有个体不愿参加联盟。

静态合作博弈的解大致可以分为两类：一类是集值解，如稳定集、核心、谈判集、核仁等，这些解主要从防止联盟异议的角度考虑局中人的得益分配；另一类是单点解，如夏普利值、班茨哈夫值、欧文值等，这些解主要从边际贡献的角度考虑局中人的得益分配。由于集值解不一定都存在，而有时却又存在多个，单点解必定存在而且是唯一的，因此将研究重点放在单点解上，以下主要介绍本书将会运用到的夏普利值和班茨哈夫值。

（1）夏普利值

美国心理学家约翰·斯塔希·亚当斯（John Stacey Adams）于1965年提出的公平理论（Equity Theory）是研究人的动机和知觉关系的一种激励理论，他认为员工的激励程度来源于对自己和参照对象的报酬及投入的比例的主观比较感觉。按照此理论，如果在利益分配时采用贡献率，即根据团队（联盟）成员贡献的大小来分配资源，则可以提高团队的产出水平和成员的合作积极性。夏普利值就是一种求局中人平均贡献率的方法，它由罗伊德·夏普利于1953年提出，是一种目前求解多人合作博弈模型的基本方法。他认为每个局中人在开始决策前总希望分配到合理的效用，由此提出局中人的期望效用φi（V） 应满足4 条公理[43]，即匿名性（Anonymity）、有效性（Efficiency）、可加性（Additivity）和虚拟性（Dummy）。

公理1（匿名性）：假如π 是局中人的一个排列，πV 代表该排列对应的博弈问题。在这个博弈问题中，局中人i 的新编号为πi，有

公理2（有效性）：每个局中人分配的效用的总和等于总效用，即

公理3（可加性）：对任意两个n 人合作博弈（N， V）和（N， U），有(www.xing528.com)

公理4（虚拟性）：若合作博弈（N， V）中存在虚拟人i，则i 加入还是不加入联盟对联盟没有影响，即

在这些公理的假设下，夏普利证明了存在唯一的函数（N，V），且（N，V）等于该局中人对每一个他所参与的联盟的边际贡献的平均值，即

式中（N，V） 称为夏普利值，简称Shapley 值。其中表示联盟s 中所含局中人的个数，V （s）表示联盟s 的合作效用，V （s\{i}）表示联盟s 除去i 后的合作效用。从概率的角度来理解：假设局中人按照随机次序形成联盟，每种次序发生的概率都相等，均为1/n！。局中人i 与前面的（-1）人形成联盟s，局中人i 对该联盟的边际贡献为V（s）-V （s\{i}）。s\{i}与N\s 的局中人相继排列的次序共有（-1）！ （n-）！ 种。因此，每种次序出现的概率应为（-1）！（n-）！ /n！。可见，局中人i 在联盟s 中的边际贡献的期望恰好就是夏普利值。夏普利值具有3 个基本特性，即个体理性、集体理性和唯一性，适用于将局中人可能构成的所有联盟考虑在内，但在实际中，有些局中人联盟是不起作用的，或者说是不现实的，从而使该方法的应用受到限制。

（2）班茨哈夫值

为了忽略不起作用的联盟，计算出有效的分配效用，约翰·班茨哈夫于1965年提出班茨哈夫值。根据班茨哈夫的假定，如果局中人i 加入联盟s 后能使s 变为赢的联盟，即局中人i 的加入是决定性的，那么便称局中人i 有一个摆盟（Swing）[16]。设θi 表示博弈中局中人i 的摆盟总数或者是起决定性作用的次数，在一个n 人合作博弈（N，V）中，摆盟θi 可以表示成

如果s 不是局中人i 的摆盟，则V（s）-V（s\{i}）=0；如果s 是局中人i 的摆盟，则V（s）-V（s\{i}）= 1。班茨哈夫值取的是所有摆盟的平均值，没有考虑非摆盟因素，可以表示为

班茨哈夫值与夏普利值有一个共同点，就是两者皆为局中人对每个可能联盟的边际贡献的平均值。它们的区别在于加权因子的不同，夏普利值中各项的权重与联盟s 的个数有关；而班茨哈夫值中各项的权重相等，都是21-n。班茨哈夫值的主要缺点在于它无法满足集体理性的条件，使得最终的分配不一定是有效的分配。但当存在一些不起作用的联盟时，班茨哈夫值更具有适用性。