非线性协整时间序列的非参数方法及应用研究-7.1ACE算法

Breiman 与Friedman（1985）开发出变量的非线性变换的非参数交替条件期望（Alternating Conditional Expections，ACE）算法。Granger和Hallman（1991）、Meese和Rose（1991）、Chinn（1991）将该算法应用于时间序列分析。ACE是一种非参数算法，只需要非常弱的分布假设，就可以处理数据的各种各样的非线性变换。ACE方法通过最小化回归方程φ(yt)＝γθ(xt)＋ε的期望均方误差，来估计数据变换θ(∙)与φ(∙)。该方法的实质是估计一个交替条件期望的简单算法，在给定φ(∙)的条件下，估计出θ(∙)；然后在θ(∙)估计值的条件下，再估计出φ(∙)。使用非参数数据平滑技术，通过迭代计算，直到方程的均方误差达到最小，即可得到变量的最优变换。Friedman（1985）证明了ACE算法给出的变换将渐近收敛于其最优变换。钟登华（1996）研究指出，ACE是求解最佳变换函数的有效方法，但缺乏稳健性（robustness），当样本数据有异常值时，直接影响变换的计算结果，从而在实际应用中受到了限制。鉴于此，他提出了在ACE算法的基础上采用稳健的非参数回归方法计算条件期望，提出了稳健的ACE算法（RACE算法），并通过仿真实验验证了RACE算法的有效性。ACE 算法和RACE算法的思想如下：

对于给定的观测数据可得变换后的观测数据。RACE算法是采用Cox（1983）提出的“一步M型平滑法”（One Step M-type Smoother）对上述条件的数学期望进行估计的，其计算过程如下：

这里，KS(x)是对于观测值的核平滑，res＝y－KS(x)，ψ(res)＝max{－c,min{res,c}}，c为大于0的常数，ψ′(res)为ψ(res)的导数，有：

ACE算法属于非参数估计方法，Granger和Hallman（1991）将该方法应用于非线性可加模型的协整检验，即对吸引子的检验。

对于式（7-1）的两变量情形，应用ACE进行最佳非线性变换得：(www.xing528.com)

从而对应用ADF（增广Dickey-Fuller）检验，若拒绝其有单位根的假设，则意味着时间序列与存在非线性协整关系。

不过，Granger和Hallman（1991）指出，原始I(1)序列变换以后可能会变成I(0)。因此，在对变换后的序列进行协整检验以前，需要检验这些序列是否还是I(1)。检验非线性协整的程序由两步组成：第一步，使用单位根检验方法和自助法临界值检验ACE变换后的变量是否还是非平稳的；第二步，如果ACE变换变量仍是I(1)，则对这些ACE变换变量进行协整检验。

张喜彬、张世英（1998）则建议对经过ACE最佳非线性变换后的进行最小二乘估计，得到残差序列，则若，那么之间存在协整关系，也即时间序列与存在非线性协整关系。

Duolao Wang 与 Michael Murphy（2004）应用ACE算法研究了多元回归的最佳非线性变换，并对1969—1971三年的美国空气污染日数据与相关的六个变量数据进行实证研究表明，直接进行多元回归的R2＝0.6695，而进行ACE变换后再对各变换后的数据进行多元回归R2达到0.9469。这从另一角度说明ACE算法可以估计变量间隐含的非线性协整关系。