协整关系的秩检验及其应用

对于两变量情形，设两个随机变量y1t＝f1(x1t)和y2t＝f2(x2t)都是I(1)序列，其中x1t和x2t是观测变量，而f1(∙)和f2(∙)是未知的单调增函数。如果y1t和y2t之差为0阶单整的，即ut＝y1t－y2t～I (0)，则称x1t和x2t之间存在非线性协整关系。

由于秩序列对单调变换具有不变性，所以未知函数f1(∙)和f2(∙)的秩可以用原始序列的秩代替，即有：R(yit)＝R[fi(xit)]＝R(xit)， i＝1,2。因为yit是I(1)，所以R(yit)也是I(1)。Breitung（2001）提出检验变量序列x1t和x2t之间非线性协整关系的统计量有两个，分别为：

式中dt＝R(x1t)－R(x2t)。检验的原假设是无（非线性）协整关系，如果上述统计量的值小于临界值，就拒绝原假设。

当随机变量y1t＝f1(x1t)和y2t＝f2(x2t)相关时，需要对上述检验统计量进行调整。对于小的ρ值，上述检验统计量可进行如下调整：

其中。如果，则需进行如下的调整：

式中为随机变量y1t和y2t的秩差分的相关系数：(www.xing528.com)

Breitung（2001）利用Monte Carlo模拟，得到如下近似值：

统计量和与统计量和具有相同的极限分布。

对于多变量的情形，设有k＋1个变量：y0t＝f0(x0t),y1t＝f1(x1t),…,ykt=fk(xkt)，且都是I(1)序列，其中fi(xit)是单调增函数。如果这k＋1个变量存在协整关系，则有et＝f0(x0t)－f1(x1t)－…－fk(xkt)且必是I(0)序列。由于fi(xit)不可观测，所以不能直接检验et是否I(0)。用秩R[fi(xit)]＝R(xit)代替fi(xit)，检验的统计量为：

式中ut为秩OLS回归方程的残差：ut＝R(yt)－β1[R(x1t)]－…－βk[R(xkt)]。若考虑各序列间的相关性，可将上述统计量调整为：

其中。