计算最大李雅普诺夫指数及其应用

在运动稳定性研究中，Lyapunov指数是一个重要工具，借助于它可以研究混沌奇异吸引子对初始条件的敏感依赖性。最大的Lyapunov指数可以度量相空间中点的收敛或发散，正的指数表示空间是发散的，负的指数表示空间是收敛的，当指数为零时则表示轨迹变化不随时间的增加而变化，此时对应三种可能情况：准周期运动，轨线处在一个分岔点，或保守面积映射的规则运动。

计算Lyapunov指数的方法大致有三类：（1）直接基于相轨线、相平面、相体积等演化来估计Lyapunov指数的Wolf方法（最早由Wolf等人于1985年提出）。（2）基于实际应用发展起来的Jocobian方法，该方法通过求系统状态方程的雅可比矩阵，然后对雅可比矩阵进行特征值分解或奇异值分解求取系统的Lyapunov指数。（3）将前述两种方法联系起来的P-范数方法（Gyotgy Barna和Ichiro Tsuda，1993）。其中，Jocobian方法对噪声非常敏感，Wolf方法的计算结果不易受拓扑复杂性（如Lorenz奇异吸引子）的影响；P-范数方法则是一种改进的方法，如果参数P选择适当，可以避免Wolf方法与Jocobian方法共同的弱点：对非一致轨线浓度效果差以及对生物系统效果差，然而实际应用中，P-范数的选取和计算较为复杂。

经济时间序列分析中，只需计算最大Lyapunov指数^[3]，而小数据量法（Rosenstein，Co11ins和Deluca.1993）则是计算最大Lyapunov指数的较好方法，其特点是：计算较为简单，计算量较小，较为可靠；而且较前述方法，精度亦有所改善。本书使用小数据量法计算经济时间序列的最大Lyapunov指数。

用小数据量法计算时间序列的最大Lyapunov指数的基本步骤如下：

（1）使用本书所介绍的方法计算时间序列{xt,t＝1,2,…,N}的嵌入维m和延迟时间τ，重构时间序列所对应的相空间：

（2）对于轨线上的每一个点，寻找与之距离最近的相邻点，记距离为：

且满足，p为时间序列的平均周期。

（3）计算该相邻点对的第i个离散时间步后的距离dj(i)，即有：(www.xing528.com)

（4）对于每一个固定的离散步长i，估计最大Lyapunov指数为：

其中Δt为样本周期。为提高收敛性，Sato等人（1987）给出了一个改进式：

其中k为一常数。因此，λ1为λ1(i,k)关于i的稳定状态。

由于步骤（4）的可操作性问题，可以从最大Lyapunov指数的几何意义入手，对于每个i，求出所有lndj(i)(j＝1,2,…,M－i)的平均值，记为：

其中q为不为0的个数。

那么，应用普通最小二乘法对{(i,y(i)),i＝1,2,…,min(M－j,M－}作回归，则最大Lyapunov指数λ1大致相当于y(i)关于i的回归直线的斜率。

上述小数据量法在寻找相空间中每一点的最近邻点时只找距其最近的一点，而由于噪声的影响，这一点可能并非真正的最近邻点。因此，Kantz（1994）提出找间距小于邻域尺寸ε的所有邻点，用多点平均来减少噪声的影响。梁勇等（2006）基于Kantz的方法提出可变邻域的思想，即采用近邻点数目L和最大邻域尺寸ε两个参数来确定邻域点：在最大邻域尺寸ε的范围内选择最接近的L个邻点构成邻域，此时邻域尺寸小于ε；如果在最大邻域尺寸ε的范围内找不到足够的L个邻点，则用ε内的邻点构成邻域。如此，在相空间中不同点的实际邻域尺寸就在最大邻域尺寸ε的范围内变化，相点较稀疏的区域，邻域尺寸也不会过大。