分形特征的描述方法及应用

分形的主要特征是自相似性单整形维数。对于分形时间序列，主要使用Hurst指数来测度其统计相关性，而分形维数则描述了一个客体怎样填满其所在空间，可用以测度分形时间序列参差不齐的程度，是其内在不变量。

1.Hurst指数

Hurst（1951）在研究尼罗河水库控制问题时提出了该指数，并提出了R/S分析方法。对于一个时间序列，应用R/S分析方法求解的Hurst指数能够用来刻画序列的长期相依性，并能估计序列的这种依赖性平均持续时间。

Hurst指数衡量了一个时间序列的统计相关性。其值可以反映三种不同的情形：

（1）H＝0.5表明该时间序列是随机的和不相关的。

（2）0﹤H﹤0.5则表明该时间序列是一个称为“均值回复”反持久性的时间序列，系统为逆状态持续性或遍历性的时间序列。即如果一个系统在前一个时期是向上走的，那么在下一个时期多半是向下走的；如果前一个时期是向下的，则后一个时期多半会向上走。距离0越近，越具备负相关性。(www.xing528.com)

（3）0.5﹤H﹤1则表明该时间序列是一个持久性或趋势增强的序列，是分数布朗运动（或有偏随机游走），时间序列是分形的。如果它在前一个时期是向上（下）行走的，则在下一个时期将继续，随着H逐步逼近1，状态持续性逐步增强。

Hurst指数用以刻画时间序列的记忆性，即：当H≤0.5，则认为时间序列为短记忆的；而当H﹥0.5，则认为该时间序列为长记忆的。

Taqqu、Teverosky与Willinger（1995）证明，Hurst指数与ARFIMA模型中的阶数d有着确定关系：H＝d＋0.5；并且，Hurst指数与分形维数D也有着确定关系：D＝2－H。

2.分形维数

关于分形体的维数，并不一定是整数维的。Mandelbrot（1975）认为：分形集这类奇异集合的性质不能用欧氏测度来刻画，而维数恰是此类集合尺度变化下的不变量，于是提出了分形维的概念，用以刻画分形集合的维数。一般而言，分形维数是分数形式，因其来源于分数维的概念，但由于现实的分形集是从不同的侧面来体现其分形性，因而也存在多种分形维定义及各自相应的测量方法。目前，关于分形维数的探讨，主要有盒维数（Hausdoff维数）、信息维数和关联维数，其定义可见前述定义4-7，4-8，4-9。实践中主要是计算关联维数。