混沌定义：非线性协整时间序列的非参数方法

混沌概念最早是由美国气象学家Lorenz（1963）提出的，其研究认为，在气候不能精确重演与长期从事天气预报的工作者的无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候发现：当输入初始条件一个极细微的差别，却能引起模拟结果的巨大变化。因此，其对混沌现象的一个著名表述就是所谓的蝴蝶效应：在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风。

李天岩与Yorke（1975）给出了混沌的第一个严格的数学定义：

定义4-1　对于连续自映射f:I→I，I是R上的一个闭区间，假设存在点x∈I，使得f(3)(x)≤x﹤f(x)﹤f(2)(x)或f(3)(x)≥x﹥f(x)﹥f(2)(x)。若满足：

（1）f的周期点的周期无上界；

（2）存在I的不可数子集S⊂I，满足：

① 对∀x,y∈S，当x≠y时，有；

② 对∀x,y∈S，有；

③ 对∀x,y∈S 和f的任一周期点y，有，则称连续自映射f在S上是混沌的。(www.xing528.com)

该定义用三个本质特征来刻画，即：有界、非周期和初始条件敏感。然而该定义认为混沌是不可观测的，而研究关注的往往是可测集，因而存在缺陷。

Devaney（1989）从拓扑学角度给出了一个更全面且较易被人理解和接受的混沌定义：

定义4-2　称映射f:X→X是混沌的，如果：

（1）映射f是拓扑传递的：对于∀开集U,V⊂X,∃k∈N,使得fk(U)∩V≠0；

（2）映射f的周期点在X中是稠密的；

（3）　映射f是初值敏感依赖的：给定δ﹥0，对于∀x∈X与x的一个邻域B，总∃y∈B,k ∈N，使得距离ρ(fk(x),fk(y))﹥δ。

这里，条件（1）说明混沌系统不能分解成两个在f下相互影响的子系统，其轨线具有规律性的成分；条件（2）说明f具有不可分解性，具有稠密的周期轨线，其运动最终要落在混沌奇异吸引子中，并使其呈现出多种看似混乱无序而又具规则的自相似图像，即在混沌奇异吸引子中的运动能在一定范围内按其自身的规律遍历每一条轨线，既不自我重复也不自我交叉；条件（3）则说明f具有不可预测性，即对于初值一个极微小的变化，其结果在短期内还可预测，但长时间的演化后其精确状态无法确定。