标准数独教程：通过单链结构解题实战

#链关系的定义

数独题目所使用的方法分为四个大类，分别是基础解法（排除、唯一余数法），进阶解法（区块、数对、数组），高级解法（简单的链类结构、鱼类结构、Wing类结构），理论解法（包括但不限于：复杂的链类、鱼类结构和其余结构；对待定数字进行操作的代数思想；提取某些可能性并分类讨论的毛刺思想等）。

本章主要讨论高级技巧。链是高级技巧的核心，由链组成的结构称为链类结构。

先对链做一个简单的定义：链是对于命题之间逻辑关系的描述。当两个命题不能同时为假，命题之间呈强链关系；两个命题不能同时为真，则呈弱链关系，即“强不同假，弱不同真”。

我们通过下面的图示进行说明：

①A1=1和A1=3两个命题，不能同时为真，呈弱链关系。

②D1=4和G1=4两个命题，不能同时为假，呈强链关系。但这两个命题也不能同时为真，因此也呈弱链关系。（图示中仅展现了强链关系）。

③A2=2和A8=2两个命题，不能同时为真，呈弱链关系，但可以同时为假，所以不呈强链关系。

强链与弱链的关系是独立的，两个命题之间可能同时呈现强链和弱链关系，可能呈现其中一种，也可能不呈现任何一种。

链关系是链结构的基础，讨论高级技巧之前，需要链关系的判定进行一定练习。在本书文字及图示中，强链以双线表示，如A==B，弱链以单线表示，如C—D。将涉及的两个命题进行连结，通过阅读文字及图示，对于所涉及的链关系进行分析，是学习链结构非常重要的一环。后文中涉及某单元格等于某数的命题时，如A3=5，会用A3（5）的方法进行表示。

图示练习：

请观察下图，并在空白部分填写各指定命题之间的关系。

①A1（7）、A1（9）：_______。

②A1（7）、A5（7）：_______。

③A1（7）、A9（9）：_______。

④A9（9）、I1（7）：_______。

⑤D1（9）、D9（9）：_______。

⑥I5（8）、I9（8）：_______。

答案：

①强、弱同时呈现

②强、弱同时呈现

③不呈现链关系

④呈现弱链

⑤呈现弱链

⑥呈现弱链

命题之间的链关系观察、理解较难，只有彻底理解链关系的原理，才可对后续的链结构进行理解和研究。

需要注意的是，在基础的链结构中，以强、弱同时呈现的链关系为主，但是往往只使用其中的一种性质。

#基础链结构

前文我们阐述了链关系，本节中我们对链关系进行深入探究。有时候，多个链关系会互相影响、成环，这样的结构叫做链结构。

我们先讨论如下结构，设五个命题A、B、C、D、E，其链关系如下图所示：

我们对这个结构进行研究，结构中A与C、B与D呈强链关系，不同时为假；A与B、C与E、D与E呈弱链关系，不同时为真。

可以这么理解这个结构：若A为真，则B为假，D为真，E为假；若A为假，则C为真，E为假。

也可以这么理解：强链不同假，说明至少有一真；弱链不同真，说明至多有一真。A、C之中至少一个真，B、D之中至少一个真，说明A、B、C、D中至少两个真；而A、B之中至多一个真，因此C、D之中至少一个真，无论哪个真，E都必定不成立。

这种结构是链结构的基础，特征及结论总结如下：

①奇数个命题，通过奇数条链关系两两相连成环。

②这些链关系呈现强、弱、强交错，最终在某个命题两侧均为弱链。

③该命题必定为假。

这一类结构是链结构的核心，以五个命题的结构为主，部分题目中可能涉及七个或更多命题的结构，研习链结构对解题至关重要。

结构分析练习：

设以下八个命题A、B、C、D、E、F、G、H中，有如下强弱链关系存在：(www.xing528.com)

①A=B, D=E。

②A—C, A—H, C—D, B—D, B—F, E—F, E—G, E—H。

试讨论哪个或哪些命题的真假性可以确定。

答案：

H—A=B—D=E—H，由五个命题以强—弱—强的方式连接成环，其中命题H两端都是弱链，因此命题H为假。

#单链结构

单链结构是对某个单一数字进行讨论的链结构，其中涉及的所有命题都关于单元格是否等于该数字。

我们以一道例题进行切入，此题在本书第二章第九节中，作为唯一性解法的例题。利用唯一性解法可回避一些高级技巧，本节先以此题为例，讲解单链结构在解题实战中的观察与应用。

题目如左下图所示，经过基本功处理后如右下图：

观察数字8，D3（8）与D9（8）呈强链关系，G3（8）也与G8（8）呈强链关系，同时D3（8）与G3（8）呈弱链关系。

此时，如果有一个命题E，与D9（8）、G8（8）同时呈弱链关系，我们可以依据上文的结论，证明这个命题E为假。此时，我们注意到I9（8）这个命题，I9与D9、G8都不相同，I9（8）与D9（8）、G8（8）都不能同时为真，因此I9（8）与D9（8）、G8（8）都是弱链关系。通过上文推论，我们可以得到I9（8）为假，故而I9=3（左下图）。

可以总结为：I9（8）—D9（8）==D3（8）—G3（8）==G8（8）—I9（8），故而I9（8）不成立。这条链中所有涉及的单元格都仅讨论同一个数字，因此称为单数链，简称单链。通过单链能解决此题，如右下图所示。

观察单链时，我们只需观察单个数字在题目中的分布。应重点观察当某个数字在某行、列、宫中，只有两个可能位置的情况，并将这些情况加以整合及串联。

寻找单链时，首先寻找强链，一般是某个数字x在某行、列、宫，只可能存在于某两格（A、B），那么A（x）与B（x）构成强链。找到关于x的两条强链后，可以用弱链将其组合为单链，一般分为三种情况：

①两条强链平行，且一侧对齐。

在对齐的一侧中，两端点位于同一行/列，命题呈弱链，如D3（8）—G3（8）。另两个端点中，其中一个所在的行列，与另一个所在的宫交汇的单元格，删减数字x，本题中删减了I9的8，如下图所示。

②两条强链垂直，其中两端点位于同一个宫内。

处于同一宫内的两端点，其命题构成弱链，如G8（8）—I9（8）。与另外两个端点均处于同一行列的单元格删减数字x，如下图中删减D3的8。

③两条强链其一水平/垂直，另一条为斜向，但有一侧对齐。

对齐的两端点，命题呈弱链；与另外两个端点均处于同一行列的单元格删减数字x，如下图中删减D3的8。

单链可视为双节棍，由一条弱链将两条强链进行串联。观察单链是非常困难的，单链的结构也决定着如果一条单链存在，那么必定存在至少一条另外的单链，解题时可以切换视角进行观察，以对单链有更深刻的认识。

通过单链进行删减后，会得到排除解或唯余解，如下图中删减了I9的8，得到唯一余数I9=3，也可得到第九列的8在D9。在一些更复杂的情况下，单链可辅助更多技巧如区块、数对、数组等的形成，再通过这些技巧解答题目。

技巧提炼

单个数字的链结构称为单链。观察时，我们应找到关于数字x的两组强链，并用弱链进行串联，最终删减强链两端共同影响的单元格内的x。

右图中D6（3）=D3（3）—G3（3）=G6（3），删减共同影响的E5、F5、H6、I6格中的3。

14练习

请利用单链解开题目。

★解题要点：（解法不唯一，仅供参考）

第一题

解题要点：数字1的单链，删减E7、E9的1，得到第六宫的1在D8。

第二题

解题要点：数字6的单链，删减I1的6，I1=1。

第三题

解题要点：数字8的单链，删减H2的8，H2=1。

第四题

解题要点：数字9的单链，删减G5的9，G5=1。

第五题

解题要点：数字4的单链，删减D9的4，D9=5。