教育科学研究方法：总体参数估计及置信度评估

统计分析常用描述统计和推断统计。由样本数据求得的描述性数量叫统计量，如集中量、差异量、相关量。总体的描述性数量叫参数。

样本的平均数、标准差、相关系数分别用符号X、S、r表示，可通过样本求得；总体参数用μ，σ，ρ表示，分别代表总体的平均数、标准差和相关系数，总体参数不能通过直接计算求得，是通过对样本统计量进行推断得出的。

1.点估计

点估计是一个数值作为样本统计量去估计总体的参数。通常是用一次估算的数据去估计总体的参数。例如，估计某市10 000名高三学生数学会考平均成绩，抽样500份试卷，平均成绩为65分。这一次抽样的样本平均成绩可以作为总体10 000名学生的平均数值。这种方法就是点估计。点估计是一种很不精确的粗略的估计方法。只有样本容量越大，估计才能越精确。

2.区间估计

总体参数的区间估计有总体平均数区间估计、总体百分数区间估计。例如，估计某市高一学生语文平均成绩，估计平均成绩在80～86分之间。如果估计100次，95次在此区间，则正确概率95%。

估计正确的概率称为置信系数或置信度。

置信系数一般为95%和99%两种。

式中，σ为总体标准差；n为样本容量。

SEX越小，表明样本平均数与总体平均数越接近。计算时，总体平均数σ值往往是不知道的。当n≥30时，只能用样本标准差S代替σ。

因而，大样本（n≥30）平均数标准误的计算公式为

样本总体平均数区间估计的计算公式为

式中，Ua为置信区间的临界值（理论μ值）。通常，当样本n≥30时，Ua为置信区间的理论Z值；当样本n≤30时，Ua为置信区间的理论t值；多样本检验时，Ua为置信区间的理论F值；间断性数据检验时，Ua为置信区间的理论x2值。

大样本总体平均数区间估计的计算公式为

置信度为95%的置信区间：

置信度为99%的置信区间：

【例10-6】随机抽取某年高考100份作文试卷，平均数为26，标准差为1.5，试估计其总体平均数。

当置信系数为95%时，代入公式得出：25.706≤μ≤26.294。

当置信系数为99%时，代入公式得出：25.613≤μ≤26.387。

结论：总体平均数在[25.706，26.294]区间，其估计可靠性为95%；总体平均数在[25.613，26.387]区间，其估计可靠性为99%。

（2）小样本（n≤30）的总体平均数区间估计。样本n≤30时，标准误计算公式（10-10）中，通常以n-1代替n，则公式变为(www.xing528.com)

当样本n≤30时，样本平均数区间估计计算公式（10-12）中的Va为置信区间的理论t值。

小样本平均数区间估计的计算公式如下：

置信度为95%的置信区间：

置信度为99%的置信区间：

【例10-7】随机抽取某校二年级学生17名，测其平均身高为120 cm，标准差为10 cm，估计该校二年级学生平均身高。

当置信系数为95%时，查t值表，df=17-1=16，t（16）0.05=2.11

代入公式（10-16），求得结果：114.725＜μ＜125.725

当置信系数为99%时，查t值表，df=17-1=16，t（16）0.01=2.92

代入公式（10-17）求得结果：112.7＜μ＜127.3

结论：总体平均身高在[114.725，125.725]区间时，这个估计的可靠性为95%，总体平均身高在[112.7，127.3]区间时，这个估计的可靠性为99%。

（3）总体百分数的区间估计

计算公式为

样本百分数标准差为

【例10-8】某县调查学生流失率，以某校753名学生为样本，结果流失18名学生，问该县学生流失率的置信区间（置信度为95%）。

n=753；p=18/753=0.024；q=1-p=0.976

样本百分数标准差：SEp=0.00558

因此，置信度为95%的总体比率的置信区间：

0.024-1.96×0.00558～0.024+1.96×0.00558，即1.3%～3.5%

所以，该县学生流失率的置信区间为[1.3%，3.5%]。