集合与映射的基本概念与理论简述及可列与不可列的概念介绍

集合和映射已经成为现代数学的通用语言，概率论的叙述和展开也同样要用这种语言.这里我们假设读者已经熟悉了集合和映射的基本概念及理论，在这一小节中，我们先简单复习一下在此讲义中所用到的集合论语言并将介绍可列与不可列的概念，它对于理解概率的数学理论是极其重要的.数学基础好的读者可以忽略本节的内容.

我们通常用大写字母表示集合，小写字母表示集合的元素.符号a∈A表示a是集合A中的一个元素，a/∈A表示a不是A中的元素.集合A称为是集合B的子集，如果a∈A蕴含着a∈B，或者说A的元素都在B中，记为A⊂B.空集∅是不含任何元素的集合，因此是任何集合的子集.如果A⊂B且B⊂A，则说A，B两个集合重合，记为A=B.比如{1，2}={2，1}.集合之间的基本运算有并，交，差.集合A，B的并A∪B是属于A，B之一的元素全体，即

A∪B：={x：x∈A或者x∈B}.

交A∩B是同时属于两者的元素全体，即

A∩B：={x：x∈A且x∈B}.

差A\B是属于A但是不属于B的元素全体，即

A\B：={x：x∈A且x/∈B}.

用图来表示这些运算是很形象的方法.如果我们预先固定一个集合Ω，讨论的集合都是它的子集时，可以定义补运算，对于A⊂Ω，A（如果必要的话，要说明是关于Ω）的补Ac是Ω中不属于A的元素全体，即并与交运算都有很好的运算性质，比如交换律，结合律成立.另外分配律也成立：(www.xing528.com)

Ac:=Ω\A.

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

我们可以容易地定义任意多个集合的并与交运算，设{Ai：i∈I}是一族集合，则

下面的De Morgan公式说明在补运算下，并与交运算是对偶的，即

它们的证明是直接的.通常记R，Z，N，Q分别为实数集，整数集，自然数集和有理数集.符号A+表示集合A中的非负元素（如果有意义的话）的子集.