古典概率问题-概率论

许多概率论教科书都是直接从公理化开始，这样的处理从数学上非常简单直接，但是作为一本初等概率论教材，我们希望读者至少能够有机会了解和体会随机现象与概率背后的一些问题以及几个世纪来学者们对这些问题的思考，因为直接从公理开始不免让初学的读者感觉突兀，也让具有良好数学背景的读者觉得概率论仅仅是测度论的一个部分.在这一节中，让我们通过一些经典例子来看看概率的直观背景，体会应该怎么样来建立概率论的公理体系.从数学的角度看这节不是必要的，特别是对于具有良好数学背景的读者.

随机的特点是有许多可能出现的结果，而无法给出预测.我们把这样的事情称为随机试验，通常用E表示.可能出现的结果全体作为一个集合称为（该试验的）样本空间，可以是有限集，也可以是无限集，通常用Ω表示，其中的元素称为样本点或基本事件.要注意的是这里所说的可能出现的结果依赖于你关心的问题或解决问题的方法.因此样本空间的选择不是唯一的.

例1.3.1掷硬币有两个结果：反面，正面.我们不妨用T，H表示，因此样本空间为Ω={T，H}.要注意我们说掷硬币总是指掷理想化的硬币，实际上是指有两个可能结果的随机试验，因为具体的硬币不一定如此，它可能由于有厚度而站立起来，不是正面也不是反面.我们后面讲的各种随机试验都是如此.掷两枚硬币的样本空间是什么呢？如果你区别两枚硬币，那么Ω={TT，TH，HT，HH}，其中第一个字母表示标识的一个硬币的结果，第二个字母表示另一个硬币的结果.如果你不能或者不区别硬币，那么Ω={两正，两反，一正一反}.两者都正确.问题不在于硬币在物理上是否可区分，而在于你是否区分它们.掷两个骰子，若区别它们，则样本空间应该有36种结果：{（i，j）：1≤i，j≤6}；若它们无法区别（或者说不区别它们），则仅有21种结果：{{i，j}：1≤i≤j≤6}；也许有的游戏只关心偶数与奇数，那么只有3种结果：都是偶数，一偶一奇，都是奇数；也许有的游戏只关心点数和，那么只有11种结果.

例1.3.2掷一个硬币一直到正面出现时停止.这样的随机试验的样本空间是Ω={1，2，···，n，···，+∞}，其中n表示掷的次数是n次，即前n−1次是反面，第n次是正面，+∞表示永远都是反面，不能停止.这是一个无限多个元素的样本空间.

概率是指一个随机试验中某个所关心的事件发生（或出现）的可能性的大小，因此要理解概率，首先要理解事件.仔细地想，事件是叙述某个条件，比如说在“掷骰子出现偶数的概率”这句话中，掷骰子是随机试验，偶数是事件，它是指样本空间中的偶数，故我们把事件理解为样本空间中某些样本点的集合，也就是说如果选取合适的样本空间，事件等同于样本空间的一个子集，即一个事件发生（或出现）是指样本空间对应子集中的基本事件有一个发生.我们说一个合适的样本空间，意味着如果选择一些不合适的样本空间，也许事件不能表示为其子集（参见例1.3.4）.用数学的符号，事件用一个字母A表示，注意它总是被看作Ω的一个子集，我们假设一个事件的准确表述不应该在这个看作子集的问题上导致误解，因此我们总认为不同的事件对应不同的子集，反之，不同的子集对应不同的事件.Ω，∅分别称为必然事件与不可能事件.

事件是可以运算的.设A，B是两个事件，那么A，B两个事件同时发生也是一个事件.直观地，它是同时属于事件A，B的基本事件中有一个发生，因此它是子集A∩B所对应的事件，也就是说事件的运算也对应于它们所对应的子集的运算.A，B同时发生意味着子集A，B的交A∩B，有时简单地写为AB，或简单地用一个逗号分隔.类似地，A，B至少有一个发生意味着子集A，B的并A∪B.而事件A不发生意味着子集A的余集Ac，等等.另外，如果事件A发生时事件B必发生，那么A包含的基本事件必也在B中，即有A⊂B.因此，有关事件的运算与关系完全确定地对应于子集的运算与关系.同样，事件的运算是通过语言完成的，也许对语义的不同理解会导致得到不同的结果，但这只是语言的困境，而不被认为是数学的困境.

例1.3.3三个事件A，B，C至少有一个发生是A∪B∪C，恰好有一个发生是

(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C),

都不发生是Ac∩Bc∩Cc.

自然地，事件的概率是一个介于0与1之间的数，我们用P（A）表示事件A（发生）的概率.另外概率显然有其一些直观上看来必须满足的性质，这些性质可作为我们定义概率的依据.首先在一个随机试验中，总有一个结果会出现，这意味着不可能事件（是指不含有任何结果的事件，即空集）∅的概率为零，而必然事件（是指含有所有结果的事件，即样本空间本身）Ω的概率是1.一些事件称为是互相排斥的，如果其中任何两个都不可能同时发生.那么直观地，任何两个互相排斥的事件有一个发生的概率是它们分别发生的概率的和，称为概率的可加性.这些观察帮助我们建立概率论的数学理论.在这一节的后面，我们将讨论很有启发意义的古典概率模型并给出一些经典的例子.

我们认为事件的概率是赋予的，让我们先看古典概率模型.一个样本空间是等可能或等概率的，如果其中的基本事件出现的可能性是一样的.只要可以做到，为了方便，等可能的样本空间通常是在计算概率时首选的.但要注意的是，样本空间的等可能性是来自于假设，这样一个假设符合或者不符合直觉在理论上讲是无关紧要的，但实际上这样的假设应该要求符合直觉或常识，或者有一种物理上的对称性作为根据.例如，掷一枚硬币，我们通常假设正面反面是等可能出现的，因为硬币的两面具有物理对称性.掷一个骰子，假设6个点是等可能出现的，也是因为骰子是个正方体，具有物理对称性.但是你是否有办法验证等可能的假设呢？随便取一枚硬币，我们能判定正面与反面是等可能的吗？或者我们能测定正面与反面出现的概率有多少差别吗？

这涉及概率应该怎么定义的问题，也就是怎么把概率纳入数学的一个分支的问题.早期有一种观点认为概率应该用频率来定义.将硬币掷若干次，记录正面出现的次数，正面次数与所掷次数之比是正面出现的频率，注意它依赖于投掷的时间地点环境与次数等等，如果你假设等可能，那么当投掷次数足够多时，概率论中的大数定律告诉我们频率应该（在某种意义上）接近正面出现的概率.但是如果你没有假设等可能性在先，频率的不确定程度使你没有理由可以认定极限就是或者其他数值比如0.49.也就是说，至少从理论上讲，频率不能给概率一个数学上可以接受的定义（也许它可以某种意义上检验你的假设是否与实际的情况偏离得太多，比如一个硬币掷十万次后正面的频率接近，那么等可能性的假设就可能有问题了，但究竟怎么来判断是统计的研究范畴了）.概率论最后接受了Kolmogorov的公理体系，就是说，概率是一个事件的集合（事件域）上的满足可加性的预先赋予的函数，它本质上认为概率是事件的一个物理特性，没有适当的物理假设，数学无法回答概率是多少的问题，就如同数学无法回答一块石头的质量几何的问题.但是，在Kolmogorov的这个框架下，大部分经典的概率问题可以被清楚地再现，并且可以使概率论研究在一个严格的体系中不断深入.(www.xing528.com)

我们先来看看古典概率模型中的概率是怎样定义的，以及简单理论与一些有趣的例子.一个随机试验或者概率模型称为是古典概型，如果它的样本空间可以取为有限且等可能的.经典的例子大多数都是古典概型.

定义1.3.1设随机试验的样本空间Ω是有限的且设每个样本出现的可能性是相同的.那么对事件A⊂Ω，定义A的概率P（A）如下：

这个概率称为是Ω上的古典概率.

这个定义是由Laplace明确给出的，它告诉我们在计算古典概型中事件A的概率时，实际上就是计算事件A中元素个数与Ω中元素个数的比例.样本空间的具体形式不重要，重要的是样本点的数量.因此计算多是应用乘法原理排列组合的方法.注意事件A中样本点数是作为样本空间的子集数出来的.等概率的假设通常应该明确.在有些问题中，我们经常省略等概率性的假设的明确叙述，作为是隐含在语义中的自然假设（除非问题明确叙述其他假设），比如说掷一个骰子，那么隐含着说假设1，2，3，4，5，6点出现的可能性是一样的，我们说从一个盒子里取球时总是假设取到盒子中任何一个球的可能性都是一样的，等等.我们经常会认为自己关于等概率的假设是合理自然的假设，其实也不尽然，下面的例子1.3.10说明直觉并不总是可靠的.

简单地说，我们关注三个要素.第一是样本空间；第二是事件的集合；第三是事件的概率.从数学的角度是说一个非空的有限集合Ω作为样本空间，Ω的某些子集的集合F作为事件的集合，这里我们简单地取F是Ω的全体子集（但在更一般的情况下，这通常不是好的和必要的，我们只要求它对某些集合运算封闭就足够了），还有就是F到R的映射P，称为事件的概率，它是一个0，1之间的数，还满足下面的性质：

（1）对任何A⊂Ω，P（A）≥0；

(2)P(Ω)=1;

（3）如果A∩B=∅，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）.

第（1）条称为非负性，第（2）条称为正规性，第（3）条称为有限可加性.（1）与（2）的验证非常直接，（3）是因为对两个互斥的集合A，B有|A∪B|=|A|+|B|.从这三条性质（而不必从定义本身）可以推出

（4）如果事件A1，···，An互相排斥，那么

P(A1∪···∪An)=P(A1)+···+P(An).