优化模型应用-数学实验

优化模型在科学生产、工程领域、企业管理、社会经济等领域有非常广泛的应用，主要通过对现实问题的简化，将生活中的实际因素抽象为决策变量，从而建立数学类的优化模型，获得最佳的决策方案。

【示例3.3.1】——生猪出售时机问题

一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头85公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤9元，但是预测每天会降低0.01元，问该场应该什么时候出售生猪可以获得最大利润。

问题分析

设在第t天出售生猪（生猪初始状态下的体重为85公斤），则：（1）出售时每头生猪的体重w为：w（t）＝85＋2t；

（2）出售时每头生猪总的投入c为：c（t）＝5t

（3）出售时每头生猪的价格p为：p（t）＝（9－0.1t）w

（4）在第t天出售每头生猪获得的纯利润为：

模型建立

要使每头生猪获得最大的利润，可以建立无约束的非线性的最大化模型如下：

模型求解

Lingo软件输入窗口编写代码如下：

图3.3.1　生猪出售时机模型

　运行后得到输出结果为：

结果解释

由于时间t在实际问题中只能取整数，因而分别计算t＝303时，利润L＝2610.27；t＝304时，利润L＝2610.28，因而在第303天或者304天出售这样的生猪都可以获得最大利润约为2610元。

【示例3.3.2】——选课策略问题

某高校针对计算机专业的学生开设部分专业选修课，要求学生毕业时必须至少学过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课，这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程具体要求见表3.3.1，试根据表中信息完成以下问题：

（1）毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？

（2）如何选课，学生才能选修最少的课程获得最多的学分？

表3.3.1　课程信息一览表

问题分析

设九门课程分别记为：x i，i＝1，2，3…，9，x i只能取0或者1。当学生选这门课程时，对应的变量取为1，否则为0。

约束条件（1）—课程约束

要求学生毕业时至少学过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课，对应的数学表达式为：

约束条件（2）—0-1约束

九门课程对应的变量xi只能取0或者1，对应的数学表达式为：

约束条件（3）—先修课程约束

例如，学生要想选修最优化方法这门课程，得先修过微积分和线性代数这两门课程，对应的数学表达式为：x 3≤x 1，x 3≤x 2，下面将所有先修课程约束条件转换为数学表达式见表3.3.2。

表3.3.2　约束条件一览表

模型建立

（1）针对第一问，学生毕业时所学课程门数最少的目标建立有约束的0-1线性规划模型如下：

模型求解

Lingo软件输入窗口编写代码如下：

图3.3.2　选课问题模型

运行后得到输出结果为：x 1＝x 2＝x 3＝x 6＝x 7＝x 9＝1，其他为0。

结果解释

学生可以选修微积分、线性代数、最优化方法、计算机模拟、计算机编程、数学实验这6门课程，获得总学分21个学分；如果增加选修数据结构、应用统计、预测理论这三门中的某一门课程，目标函数（课程数）会增加一个。

（2）设每门课程对应的学分为pi（i＝1，2，…，9），针对第二问中学生毕业时所学课程最少、获得学分最多的目标建立多目标的0-1线性规划模型如下：

将上述双目标的0-1线性规划问题转化为单目标0-1线性规划问题如下：

注　目标函数中的w为权重，取值在0，1之间，w取不同的值对结果有稍微的影响。下面以w＝0.7为例，对模型进行求解。

模型求解

Lingo软件输入窗口编写代码如下：

图3.3.3　多目标选课问题模型

运行后得到输出结果为：

结果解释

学生可以选修微积分、线性代数、最优化方法、数据结构、应用统计、计算机模拟、计算机编程、数学实验这8门课程，获得总学分28个学分。

注　当w＜2／3时，该问题的最优解与w＝0的结果相同，即主要考虑获得学分最多的目标；当w＞3／4时，该问题的最优解与w＝1的结果相同，即主要考虑所选课程最少的目标。

【示例3.3.3】——奶制品加工问题(www.xing528.com)

一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kg A1和3kg A2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可进一步加工为0.8kgB1，加工费为4元，加工时间为12h；每千克A2可进一步加工为0.7kgB2，加工费为3元，加工时间为10h。初级奶制品A1，A2的售价为10元／kg和9元／kg，高级奶制品B1，B2的售价为30元／kg和20元／kg。工厂现有的加工能力为每周共2000h，根据市场需求量，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡的条件下为该厂制定一周的生产计划，使获得的利润最大。

问题分析

购买的牛奶总数为y桶；生产的奶制品A1，A2的数量分别为x 1，x 2；A1，A2中用于加工高级奶制品数量分别为x 3，x 4；每周出售的奶制品A1，A2，B1，B2的数量分别为x 5，x 6，x 7，x 8，则：

目标函数分析

（1）成本分析：加工为初级奶制品的总成本为15y；

进一步加工为高级奶制品的总成本为4x 3＋3x 4；

（2）收入分析：每周的总收入为10x 1＋9x 2＋30x 3＋20x 4；

（3）利润分析：每周的总利润为

约束条件分析

（1）加工能力约束：15y＋12x 3＋10x 4≤2000；

（2）用量约束：

（3）销量约束：

（4）非负约束：y≥0，xi≥0，i＝1，2，…，8。

模型建立

针对供需平衡的条件下获得利润最大的目标，建立最大化线性规划模型如下：

模型求解

Lingo软件输入窗口编写代码如下：

图3.3.4　奶制品加工问题模型

图3.3.5　奶制品加工问题求解报告

运行后得到输出结果为：

x 1＝78.43，x 2＝94.12，x 3＝78.43，x 4＝0，x 5＝70.59，x 6＝94.12，x 7＝62.75，x 8＝0，y＝70.59，z＝2611.77。

结果解释

购买的牛奶总数为71桶；生产的奶制品A1，A2的数量分别为78.43，94.12kg；A1，A2中用于加工高级奶制品数量分别为78.43，0kg；每周出售的奶制品A1，A2，B1，B2的数量分别为0，94.12，62.75，0kg，获得最大利润为2611.77元。

灵敏度分析

图3.3.5所示求解报告中的DUAL PRICES给出了这几种原料增加1个单位时的影子价格，如生产奶制品A1增加1个单位时，利润增长1.305元；生产奶制品A2增加1个单位时，利润大约降低34.58元；而用10元购买1桶牛奶时，可生产奶制品A1共2kg，总利润可增加2.6元，显然低于成本价格，因而不建议再次加购牛奶。

【示例3.3.4】——人员分配问题

假设每周7天为社区进行服务，但是所有志愿者每周需工作5天，休息2天。根据团队以往的组织经验，预计每周周一至周日对志愿者人数的需求量分别是30 30 18 16 23 14 19，求在满足对志愿者需求的前提下，该团每天需要招募多少志愿者，使一周所招募的志愿者人数最少？

问题分析

（1）寻找本题中需要建立的原始集，即每周的天数，用days表示；（2）数据段中初始化days的数据成员；

（3）确定days的属性，每天需要招募的人数和每天开始工作的人数，分别用required和hire表示；

（4）目标函数：招募志愿者人数最少，

（5）约束条件：每天必须有足够的志愿者满足社区服务的需求，即

模型建立

注　＠wrap（index，limit）返回［1，limit］之间的数。

当days（j）＝1时，days（i）＝1 2 3 4 5，由于循环周期为7，因而＠wrap（j＋i＋2，7））返回值为4 5 6 7 1；

当days（j）＝2时，days（i）＝1 2 3 4 5，由于循环周期为7，因而＠wrap（j＋i＋2，7））返回值为5 6 7 1 2。

【能力训练3.3】

1.水泥配送问题（非线性规划）

某水泥加工厂的两个料场A（5，1）、B（2，7），每天向六个建筑工地运输水泥的供应计划见表1，每个工地的地理位置和水泥日均需求量见表2，试制定每天的供应计划，使总的吨千米数（距离×运量）最少？

表1　A、B料场每天的供应量

表2　六个工地的地理位置和水泥日需求量

2.奶制品加工（整数规划）

如果示例3.3.3中要求牛奶必须购买整数桶，该问题又应该如何求解，并对结果进行灵敏度分析。

3.队员选拔

现需对某次大赛参加混合泳的队员进行选拔，目前共有5名候选人的百米成绩见表3。

表3　5名候选人的百米成绩

试建立优化模型完成下列问题：

（1）如何选拔队员组成4×100米的混合泳接力队？

（2）若丁的蛙泳成绩退步到1′15″2，戊的自由泳成绩进步到57″5，组成接力队的方案是否需要调整。