数据插值与拟合的思想简介

1.数据插值的基本思想

数据插值主要是针对已有的复杂函数尝试寻找一个便于计算的简单函数来近似，产生的简单函数称为插值函数。经常用到的简单函数为多项式，因而插值函数有时也叫插值多项式。

一般的插值问题可描述为：

设有复杂函数y＝f（x）上的一组样本点（x i，y i）　i＝1，2，…，n，见表2.3.1，试计算函数f（x）在x n＋1点处的函数值。

表2.3.1　样本点

由于函数y＝f（x）的形式非常复杂，导致计算某一点处的函数值变得极其困难，因而需要一个简单函数y＝g（x）来代替y＝f（x），使得它们在某点处的函数值近似相等。图2.3.1给出了表2.3.1中样本点的插值函数曲线。

图2.3.1　数据插值原理示意图(www.xing528.com)

根据产生插值多项式方法的不同，可以把插值方法分为：线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值、Hermite插值、分段插值和样条插值，最常用的插值为线性插值和三次样条插值。本节对不同插值方法的具体理论不作详细地阐述，仅对插值过程的MATLAB求解进行说明。

2.数据拟合的思想

数据拟合方法是指在已有数据点的基础上建立一个拟合函数来逼近已有数据点，使得逼近效果在某个准则条件下是最好的，可以反映数据点之间的关系，最为常用的数据拟合准则为最小二乘法。本节就仅对基于最小二乘法的数据拟合过程进行详细说明。

一般的基于最小二乘法的数据拟合问题可以描述为：

根据表2.3.1中的样本点数据，求拟合函数h（x），使得误差平方和最小，即图2.3.1中所显示的距离平方和最小。

图2.3.2　数据拟合原理示意图

观察图2.3.1和2.3.2发现，数据插值方法需要计算出一个经过各个数据点的插值函数；而数据拟合过程仅仅需要求出一个对数据点最佳的逼近函数作为最终的拟合函数，并非要完全经过各个数据点。显然，数据插值方法得到的函数准确度高，但是数据拟合方法容易实现，在满足误差要求的情况下，数据拟合方法也可以很好的反应数据间的关系。