数学实验：捕食者-食饵模型探究

自然界中不同种群之间存在着一种相互依存、相互制约的生存方式，例如种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，常见的兔子和狐狸、落叶松和蚜虫都是这种生存模式的典型。生态学上称种群甲为食饵，种群乙为捕食者，二者共处组成捕食者—食饵生态系统。

下面给出意大利学家Volterra给出的生态学模型：

食饵甲和捕食者乙在时刻t的数量分别记作x（t），y（t），当甲独立生存时它的（相对）增长率为r，即；而乙的存在使甲的增长率减小，设减小的程度与种群数量成正比，于是x满足方程：

其中，比例系数a是反映捕食者乙掠取食物的能力。

捕食者离开食饵无法生存，设乙独自存在时死亡率为d，即－dy；甲为乙提供食物相当于使乙的死亡率降低，并促使其增长。设这个作用与甲的数量成正比，于是y满足方程：

其中，比例系数b是反映食饵甲对捕食者乙的供养能力。

捕食者—食饵微分方程模型如下：

【示例1.3.4】海岛上有狐狸和野兔，当野兔数量增多时，狐狸捕食野兔导致狐群数量增长；大量兔子被捕食使狐群进入饥饿状态进而使其数量下降；狐群数量下降导致兔子被捕食机会减少，兔群数量回升。

设x（t），y（t）分别表示时刻t的野兔和狐狸的数量，兔子数量的负增长系数为0.015，兔子的存在又为狐狸提供食物。设狐狸的数量与兔子的数量成正比，比例系数为0.01，假设开始时兔子的数量为100，狐狸的数量是20，在忽略兔子的增长率r和狐狸的死亡率d时，建立微分方程模型如下：

试根据上述模型回答下列问题：

（1）计算当t∈［0，20］时，x（t），y（t）的数据，绘图并分析捕食者与食饵的数量变化规律；

（2）若初始条件为x（0）＝20，y（0）＝15，试计算当t∈［0，20］时的x（t），y（t）数据。

解　针对问题（1），建立M-函数文件，命名为fox.m，编辑窗口输入MATLAB代码如下：

在命令窗口编写MATLAB代码如下：

(www.xing528.com)

运行后得到输出结果为：

根据上述结果可知，当t∈［0，20］时野兔的数量在区间［29.9517，236.0533］之间，狐狸的数量在［20.00，157.2538］之间，野兔和狐狸具体数量的变化规律如图1.3.5所示，野兔和狐狸周期性变化规律如图1.3.6所示。

图1.3.5　野兔和狐狸数量变化规律图

图1.3.6　野兔和狐狸数量周期性变化规律图

根据图1.3.5和图1.3.6可知，野兔的总数量始终大于狐狸的总数量，且野兔数量的变化周期与狐狸数量的变化周期一致。

针对问题（2），在命令窗口编写MATLAB代码如下：

运行后得到输出结果为：

根据上述结果可知，当t∈［0，20］时，野兔的数量在区间［8.6003，390.7983］之间，狐狸的数量在［5.7452，259.0590］之间，野兔和狐狸具体数量的变化规律如图1.3.7所示，野兔和狐狸周期性变化规律如图1.3.8所示。

图1.3.7　野兔和狐狸数量变化规律图

图1.3.8　野兔和狐狸数量周期性变化规律图

根据图1.3.7和图1.3.8可知，当模型中参数确定时，初值对微分方程组的求解结果有一定的影响，但两个种群最大数量的比值几乎是不变的，大约是3∶2。