人口问题是当今世界上人们最关心的问题之一。想要预测未来某年的人口数量，需要建立相应的人口增长模型，常见的人口增长模型有马尔萨斯（Malthus）模型和罗杰斯特（Logistic）模型。
1.Malthus模型
Malthus模型又称指数增长模型，假设单位时间内人口净增长率为常数r。设t时刻人口总数为x（t），则Δt时间内增长的人口数为：
整理得
当Δt→0时，得微分方程模型
解得
其中，x 0，r为待定参数。
注 人口净增长率是人口增长数量与人口总数的比值。
【示例1.3.1】某高校在2015年底的一项统计数据显示：该校的在校学生人数以260e0.2x的速度递增，其中x＝0对应2015年的学生数。若该校目前在校人数为6000人，学生宿舍为1200间，每间最多可容纳6人，试回答下列问题：
（1）预测2025年学校的在校学生数？
（2）到2025年学校最多可容纳的学生数？若不能容纳，至少还需要修建多少间宿舍？
模型假设与变量说明
（1）假设今后10年学校的在校人数均按260e0.2x的速度递增，不会出现其他变故；
（2）假设现有宿舍10年后还能正常使用；
（3）假设从2015年起的第x年该校的在校人数为P（x）。
模型的分析与建立
由题意知：
利用微元法，在区间［x，x＋d x］上，可将学校在校人数的增长率视为常数，增加的人数为d P＝260e0.2x d x，则2025年该校在校人数为：
在命令窗口编写MATLAB代码如下：
运行后得到输出结果为：
根据上述结果可知，到2025年学校大概有学生（－1300＋1300e2）人，化简后可知10年后学校将有近8306名学生。学校现有宿舍1200间，按每间最多容纳6人计，最多可容纳学生人数为：
还差床位数为：
若仍按每间6人安排，则缺宿舍数为：
即还缺185间宿舍。
2.Logistic模型
Logistic模型也称阻滞型人口模型，主要考虑到自然资源和环境对人口的影响。否定了Malthus模型中关于对净增长率为常数的假设，Logistic认为净增长率随着人口数量x（t）的增加而减小，即当x（t）→xm时，净增长率趋于零，其中xm表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般地，一个国家工业化程度越高，它的生活空间越大，食物就越多，从而xm就越大）。
据此，建立Logistic模型为：
其中，r为比例系数。利用分离变量法可以得到人口数量为：
【示例1.3.2】利用Logistic模型预测世界未来人口数量。某生物学家估计，比例系数r＝0.029，当人口总数为3.06×109时，人口每年以2%的速率增长，因而由Logistic模型得：
(www.xing528.com)
即
得
即世界人口总数极限值近100亿。
【示例1.3.3】表1.3.1是美国近两个世纪的人口统计数据（百万），试建立数学模型预测2010年美国的人口数。
表1.3.1 美国人口数据
问题分析
根据题目中给定的数据，利用MATLAB软件绘制散点图，观察散点图的分布规律，确定人口模型。
在命令窗口编写MATLAB代码如下：
运行后得到输出结果如图1.3.1所示。
图1.3.1 美国人口数据散点图
观察散点图的走势发现，美国近两世纪的人口总数几乎呈指数形式增长，因而建立预测模型时可以选择指数模型，即Malthus模型。
模型建立
根据题意建立Malthus模型为：
下面利用最小二乘法的非线性拟合函数进行曲线拟合，确定参数x 0，r。用1790年－1900年间的12组数据进行预测，在命令窗口编写MATLAB代码如下：
运行后得到输出结果如图1.3.2所示。
图1.3.2 美国人口数据拟合函数曲线
利用所给数据进行预测，在命令窗口编写MATLAB代码如下：
运行后得到输出结果为：
根据上述结果可知，2010年美国人口数为1168百万人，得到拟合曲线如图1.3.3所示。
图1.3.3 美国人口数据拟合函数曲线
观察上述图像发现，前期数据比较吻合，但到后期差距就比较大，因此这个模型不能比较准确的预测人口数。
观察表1.3.1中美国人口数据，定义人口的净增长率为：
计算近两个世纪来美国人口每年的净增长率，并作出净增长率的散点图，在命令窗口编写MATLAB代码如下：
运行后得到输出结果如图1.3.4所示。
图1.3.4 美国人口净增长率的散点图
观察上述图形可以看出，净增长率并不是常数，但Malthus模型中假设净增长率为常数，因此Malthus模型不能用来预测该数据下的长期人口数量。
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