在上一章中，我们讲述了一个富有成效的想法：将空间和时间合并成一个叫作时空的整体。我们找到了时空的根本特性，对整个宇宙来说，事件的时空间距都相同。这种事件间距的不变性是问题的核心。依据时空本性，我们重新推导出了爱因斯坦的理论。但是在推导过程中，我们把宇宙上限速度与光速画了等号，却没有给出证明。本章将探讨光速更深奥的含义。其实，我们已经开始了这项工作，在一定意义上掀开了光速神秘的面纱。光速出现在E=mc2中，因此，在宇宙构造中起到了重要作用。事实上，它在时空理论中没那么与众不同。时空让万物平等，你、地球、太阳和遥远的星系，一切的事物都以相同的时空速度穿行。对光来说，只不过是它的空间运动部分占有了全部的时空速度，由此，光以宇宙上限速度在空间中运动。也就是说，光之所以显得特殊，是因为我们的主观倾向，我们更容易将时间和空间视为不同的事物。那么，为什么光的空间运动占有了全部的时空速度？确实有这么一个理由，它还与我们理解E=mc2的目标有密切的联系。
E=mc2是一个方程。我们一直强调的是，物理学家用方程来表示物体之间的关系，它们既高效又强大。对于E=mc2，它表示能量（E）、质量（m）和光速（c）这些“事物”之间的关系。一般来讲，方程中的事物可以代表现实物质，如波或者电子，也可以代表更抽象的概念，如能量、质量和时空间距。正如我们前面看到的，物理学家对方程提出了很严格的要求，他们坚信方程应该对所有人都保持不变。这个要求近乎苛刻，很难永远恪守。若某一天，我们不得不打破它的限制，这将给现代物理学家带来一场震惊。毕竟，自从17世纪现代科学诞生以来，物理方程的不变性一次次地发挥作用。
然而，一个优秀的科学家必须承认大自然的威力，它会随时让我们猝不及防，丧失理想，这点被一再证明。然而，目前，“普遍相同”的理想还未被打碎，它仍然完好无损。前面，这种理想被简单地表述为：物理定律应该由不变量来书写。今天，已知的基本物理学方程都满足这一要求，它们以此给出了时空中物体之间的关系。这到底是什么意思呢？什么是时空中的物体？这样讲吧，任何物体都被假定存在于时空中，所以，当我们写下一个方程时（例如，一个描述物体如何与其环境相互作用的方程），我们必须采用不变量来表达方程的数学形式。只有这样做，方程才能得到每一个观测者的普遍认可。
拿一条绳子的长度来举例吧，这个例子应该不错。根据前面所讲，对于一条绳子这个实实在在的东西，它的方程不应该只包含空间长度。我们应该有点野心，去遵循处理时空问题的方式，研究它的时空长度。当然，物理学家生活在地球表面，用方程来表示空间长度和其他类似事物之间的关系更为方便。并且，工程师早已证明这样做就可以处理很多问题。那么，该怎样正确看待一个只使用空间长度或钟表时间的方程呢？对于日常工程问题，相对于宇宙上限速度，物体移动得非常慢（但不全是），我们可以把这些方程看作近似。粒子加速器就是前面遇到过的一个反例，亚原子粒子在加速器中以临近光速的速度做圆周运动，结果寿命得到了延长。如果不考虑爱因斯坦理论的作用，粒子加速器将变得不正常。基础物理学探索基本方程，意思是说它们研究具有时空普适性对象的数学表达式。旧的空间观导致了一种看待世界的方式，那就是类似于观看舞台剧时只看聚光灯投射到舞台上的影子。真正的戏剧涉及演员三维的活动，而影子则捕捉的是戏剧二维的投影。随着时空概念的出现，我们终于能够将目光从阴影中移开。
有关时空事物的讨论，尽管很抽象，但是很有实际意义。我们已经遇到了这样一个“在时空中，具有数学表示形式的普遍性概念”——两个事件的时空距离。然而，不止这一个。
在挑战一种新的时空事物之前，我们先退后一步，回到日常生活中，去认识一下它的三维对应物。读到这里，不难发现，对自然界的合理描述都会用到距离的概念，距离的特殊之处在于，它只需要一个数字来表示。例如，从曼彻斯特到伦敦的距离是184英里，从脚底到头顶（身高）的距离大约是175厘米。数字后面的词（厘米或英里）用来表示计数距离的方式，有了它们，只要再给出一个数字就可以。从曼彻斯特到伦敦的距离给出一些信息，使你能够计算出要加多少油，汽车才能跑完旅程，但是，我们还需要地图来确定出发的方向，否则可能会南辕北辙，开到诺维奇[34]去。
为了解决这个问题，可以建造一个长184英里的巨型箭头，把箭头底端放在曼彻斯特，顶端放在伦敦，显然这个方案异想天开。然而，物理学家常常拿箭头描绘世界，对他们来说，若某个东西既有大小又有方向，那么箭头再好用不过了。摆放巨大的曼彻斯特—伦敦之箭，让它指向正确的方向，它才能发挥作用，否则我们还会走错方向，去了诺维奇。箭头既有大小又有方向的意思就在于此。天气预报员给我们展示了应用箭头的另一个例子，在预报中，他们用箭头来说明风向。不断转向的箭头捕捉着风的特性，它们清晰地显示着地图上各点处风的方向和速度，箭头越长，风就越大。这种可以用箭头表示的物理量，物理学家把它们称为“矢量”。如，天气图上显示的风速和巨大的曼彻斯特—伦敦箭头，它们只需要两个数字来描述，属于二维矢量。例如，对于40英里每小时的东南风，天气预报员只需一个二维箭头就可以展示整个情况。二维箭头不能表示空气是向上还是向下移动，以及上下移动的程度，但当我们谈论天气时，也不关注这些。
除了二维矢量，还有三维或大于三维的矢量。回到我们从曼彻斯特到伦敦的旅行计划，若旅程的起点是一个老村子，位于曼彻斯特以北的潘宁山上，那我们的箭头必须稍微向下一点，因为轮渡位于泰晤士河的河岸边，几乎与海平面持平。我们生活在三维空间中，里面的矢量用三个数字来描述。讲到这里，你可能已经猜到了，矢量也可以存在于时空中，它们用四个数字来描述。
在通往E=mc2的征程上，还剩有两个环节，我们逐一展示。理所当然，第一部分就是我们感兴趣的四维时空矢量。说起来容易，可是仔细琢磨一下，也很奇怪，矢量不但可以指向“北”了，还可以指向“时间方向”。我们无法在脑海中描绘“时间方向”的矢量，正如我们在谈论时空概念时，无法绘制时空图像一样，这是我们的问题，与大自然无关。在上一章中，我们把时空比作乡村地形，这可以帮助我们在脑海中建立时空画面（这一简化时空至少可以涵盖空间的一个维度）。四维矢量由四个数字表示，比较典型的是连接时空中两点的矢量。图9给出了两个例子。其中，一个直接指向时间方向，并且两个矢量都从同一点开始，这样做方便我们下面的分析。一般来讲，不难想象，时空中任意两点都有一个箭头把它们连接起来。时空中的矢量没有想象的那样抽象。例如，晚上10点睡觉，早上8点醒来，就定义了一个表示时空矢量的箭头，它的长度是“10小时乘以c”，方向指向时间方向。这样看来，整本书一直在用时空矢量，只是没有明确它的名字。例如，回忆下勇敢的摩托车手驾驶的场景，他踩着油门在时空中前行，这里就隐藏着一个重要的矢量。不难发现，现摩托车手在时空中总是以c的速度行驶，他唯一能做的是调整摩托车前行的方向（尽管他不能随心所欲，因为方向被限制在北纬45°以内）。我们可以引入一个矢量来表示他的运动状态，这个矢量有固定的长度c，它的方向指向车手在时空中运动的方向。这个矢量有专门的名字，时空速度矢量。用专业术语来说，时空速度矢量的长度只能取c，方向也只能指向未来光锥。在这里，光锥是指夹在两条45°线内的区域，这两条线守护着因果关系。这样，通过指定矢量的时间分量和它的空间分量，我们就可以确定时空中的任何一个矢量。
现在，我们已经知道，时空的观察者做着相对运动，他们的速度互不相同，因此，在测量事件间距时，每一个观测者测的时间间距和空间间距也不相同。但无论时间距离和空间距离如何随观测者变化，事件的时空间距保持不变。根据闵可夫斯基几何特性，时空矢量尖端随不同的观测者在一条双曲线上移动，当然双曲线在未来光锥中。具体说来，如果这两个事件分别是“晚上10点睡觉”和“早上8点起床”，那么对于床上的观察者，他的观测结论是时空距离矢量方向指向时间轴，长度是时间（10小时）乘以c，如图9所示。而对于高速飞行的人来说，躺在床上的人和床一起运动，高速飞行的人就要给床上的人加点空间运动，因此，时空距离矢量的尖端将偏离时间轴。同时，由于箭头的长度不能改变，箭头尖端必须保持在一条双曲线上，如图9中的第二个倾斜箭头。你会看到，时空矢量在时间方向的分量增大了，快速运动的观测者会因此得出这样的结论：从一个事件到另一个事件经历了更多的时间（即快速运动的观测者测量的时间超过10个小时）。这里给出了一种新方法，说明了奇妙的时间膨胀效应。
对于矢量，我们先讲这么多（我们马上还会回来，因为过会就要用到时空速度矢量）。接下来，要花上几段来完成E=mc2拼图的第二个关键模块。请把自己想象成一个物理学家，正在研究宇宙的运转机制，你很了解矢量的知识，还不时用它书写数学方程。假设有人，比如你的同事，告诉你一个特殊的矢量，不管所在的宇宙环境如何变化，它永远不会改变。对此，你可能毫无兴趣，因为如果矢量没改变什么，那么它就跟宇宙运转没多大本质联系。但如果你的同事进一步告诉你，这个特殊的矢量是由一组其他矢量相加而构成的，并且每个矢量都与事物的不同部分相联系，那么你肯定会对此感兴趣，因为这正是你试图理解的事情。物体的各个部分变动不已，每个分矢量随之改变，但它们总遵循一种方式，分矢量之和永远相同，不会改变，以此它们构造了一个特殊矢量。你可能对矢量相加表示疑惑，但随后会看到，这也不是什么难事。
我们用一个简单任务来说明不变矢量的妙处。我们去探索当两个台球迎面相碰时会发生什么。拿台球举例显得有点微不足道，但物理学家偏偏选取这些平常的例子，这不是因为他们只关心这些简单的现象，也不是因为他们喜欢打台球，而是因为概念常常最先从这些简单的例子中被提出来。回到台球问题。按照你同事的说法，给两个台球各赋予一个矢量，矢量的方向指向球运动的方向，然后，将两个矢量相加，就可以得到这个特殊的不变矢量了。这里所讲的不变矢量意思是指，无论两个球如何碰撞，我们都可以确定碰撞前两球的和矢量等于碰撞后两球的和矢量。这一特殊矢量严格限制了碰撞的可能结果。这个见解非常有价值。我们的同事进一步声称，“这类矢量的守恒”适用于台球碰撞、恒星爆炸，甚至宇宙中的每一个体系。这当然会给我们留下深刻的印象。当然，物理学家肯定不会一直处处宣称这些矢量为特殊矢量，他们把它称为“动量”，相应地，把这类矢量的守恒称作动量守恒。
还有几个小问题没有解决：动量之箭有多长？如何把它们加起来？矢量的加法很容易，将每一个箭头首尾相接，这就是规则。然后，将第一个箭头的起点与最后一个箭头的终点用一个新的箭头相连，这个新的箭头就是和矢量。图10显示了任意三个箭头相加，大箭头是其他三个小箭头的和。至于动量矢量的长度，我们可以用实验来确定，从历史中可以找出这种方法。动量概念的效果源远流长，可以追溯到1000多年以前。简单来说，它可以表示不同的撞击效果，如被网球撞击和被时速60英里的特快列车撞击的区别。以前的讨论表明，它跟速度相关，刚才的例子又表明它和质量有关。其实，在爱因斯坦以前，动量的大小就是物体质量和速度的乘积。此外，动量是个守恒量，这是现代物理的观点。我们前面讨论了艾米·诺特的工作，动量与之密切相关，基于她的工作，我们了解到了动量守恒定律和空间平移不变性之间的关系。用符号来表示的话，当质量为m的粒子以v的速度运动时，它的动量大小为p=mv，其中，p就是常用的动量符号。
直到现在，我们竟然还没讲质量到底是什么。让我们着手详细谈论这个问题。质量是物质含量多少的量度，这是它的一个最直观的概念。两袋糖的质量是一袋的两倍，以此类推。如果不嫌麻烦的话，拿一个老式天平和一袋标准重量的糖，那么就可以对大部分物体进行称重了。过去杂货店就是这样做的，如果要买1千克土豆，把土豆和1千克糖分别放在天平的两端，只要天平平衡，那么土豆就是1千克，没有人会对此产生怀疑。
然而，物质的“含量”有许多不同类型，因此“含量的多少”表述不准确。这里给出一个更好的定义，通过重量来测量物体的质量，越重的物体，质量就大。这样定义质量就简单明确了吧？是，也不是。在地球上，可以通过称重来确定物体的质量，如浴室中的体重秤。大家都熟悉重量的单位，如千克和克（或磅和盎司）。科学家可不认同我们的日常做法。人们之所以把重量混同于质量，是因为，在地球表面做测量，质量和重量是成正比的。很容易想到，若把浴室里的体重秤搬到月球上所发生的事情，这时，与在地球上相比，你的体重将只有地球上的1/6。但质量没有改变，两倍的质量仍对应两倍的重量（重量与质量仍成正比关系），改变的只是质量和重量之间的比率。
质量的第三种定义来源于这样的事实，质量更大的物体需要更多的推力才能动起来。自然的这一特性由F=ma这个数学公式表示。1687年，这个公式首先出现在艾萨克·牛顿的《自然哲学的数学原理》中。它算是物理学中第二著名的方程式了（排在E=mc2之后）。根据牛顿定律，用一个F的力推物体，物体开始加速，加速度为a。在牛顿定律中，m代表质量，它可以通过实验测算出。如，设定某个物体一个加速度，测量出需要的力，就可以计算该物体的质量了。这个定义不错，我们会一直使用。如果你继续担心“力”的准确定义，这很好，说明你有一个批判的头脑。有关力的定义，这里不做深入探究，只要知道如何测量推力和拉力就够了，力的概念就蕴含在推拉之中。
已经离题太多了，虽然我们没有深入探讨质量是什么，却已经差不多到“教科书”水平了。在后面的第七章中，我们将专门深入认识质量的起源，在这里我们只需要假定质量是物体的固有属性，它就在“那里”。也就是说，时空中有一个大家叫作质量的物理量，是一个不变量，对所有的观测者都相同。我们没有提出任何令人信服的证据，来说明这个物理量就是牛顿方程中的质量。然而，与许多其他假定一样，当我们基于它推出可检验的结果时，它的有效性等特性将受到检验。让我们回到台球问题。
假定两个台球迎面相撞，如果它们的质量相同，速度也相同，那么它们的动量矢量长度相等，方向相反。若把它们的动量加起来，动量就会完全抵消。两球碰撞后，动量守恒定律告诉我们，台球将以相同的速度朝相反的方向弹开。如果不是这样，就会有多余的动量不能够被抵消，与动量守恒不符。前面已经指出，动量守恒定律并不仅仅局限于台球问题。它非常重要，整个宇宙无处不在。火炮射击炮弹后的反冲运动，或爆炸时碎片四散的过程都满足动量守恒定律。也许，我们应该多讨论下爆炸问题。
大炮开火前，炮筒静静矗立在城堡上，炮弹停在炮筒内，大炮的动量为零。然而，当开火时，炮弹高速射出，炮身却稍微后坐，看起来几乎没动一样，这伤不到城堡里的士兵，他们很幸运。炮弹的动量用动量矢量箭头来表示，箭头长度等于炮弹的质量乘以它的速度，方向指向它飞离炮筒的方向。由动量守恒定律，炮身必须有一个反冲动量，它的矢量长度与炮弹的相等，但方向却是相反的。因为炮身比炮弹重，炮身后坐的速度就小得多。大炮越重，后坐越慢。所以，大而慢的物体和小而快的物体可以有一样大的动量。可是，炮身和炮弹最终都要因减速而停止运动（并因此失去动量），各种球类也因重力作用而改变其动量。但这些并不能说明动量守恒出了问题。如果考虑空气分子，考虑炮弹和炮身轴承内的分子碰撞所产生的动量，考虑在重力与球相互作用时，地球动量的微小变化，那么所有物体的总动量仍然是守恒的。然而，当存在摩擦和空气阻力等因素时，物理学家通常无法追踪所有动量的去向。因此，动量守恒定律的使用范围会变窄一些，它通常只在外部影响不重要时才适用。但这不应丝毫减损动量守恒定律作为物理学基本定律的地位。我们看看能否用它解决掉台球问题，这个问题已经在蠢蠢欲动了。
为了简化台球碰撞问题，我们只考虑台球，而忽略摩擦力的影响。即便如此，知道球在碰撞前的质量和速度，只采用动量守恒也计算不出台球碰撞后的速度。动量守恒定律很有意义，但并非万能。对此，我们需要引入另一个非常重要的守恒定律。
我们首先回忆动量守恒的重要思路。运动物体可以用动量矢量来描述，物理学家提出在任何时候所有动量矢量之和都保持不变。动量的这种守恒特性引起物理学家的极大兴趣。如不采用“动量”这个词，表述起来就更别扭了，总不能说“守恒的箭头”吧。本书一开始就揭示，在物理学中，守恒量很常见，也很有用。你掌握的守恒定律越多，在解决问题时，就越容易找到办法。在所有的守恒定律中，有一个更为突出，因为它有着广泛的用处。在17到19世纪漫长的研究过程中，工程师、物理学家和化学家慢慢地发现了它。它就是能量守恒定律。
首先，能量比动量更容易理解。和物体拥有动量一样，物体也拥有能量。但能量与动量不同，它没有方向。看起来，它更像温度，一个数字就足以说明它。那么，什么是“能量”？怎么定义它？又怎么测量？对于动量，回答这些问题很容易，动量矢量方向指向运动方向，长度等于质量和速度的乘积。相比动量，能量就不太容易确定了，它可以伪装成许多形式。不过我们已经清楚一条规则，即能量的总和保持不变，任何过程，任何情况都是这样。诺特再一次给出了更深刻的理解。能量守恒深层原因是物理定律不随时间而改变。显然这不能简单地理解为“什么也没有发生”，这样理解就太简单了。相反，这意味着如果麦克斯韦方程组此时成立，那么以后也应该成立。麦克斯韦方程组是这样，爱因斯坦的假设也是这样，任何基本的物理定律都是这样。
和动量守恒一样，起初，能量守恒也是通过实验发现的。在工业革命历史长河中，能量守恒的发现是一个蜿蜒曲折的过程。它的起源与许多实验科学家的工作相关，在追求工业发展的过程中，这些实验科学家发现了各种现象，有机械的，有化学的。如，巴伐利亚“不幸的拉姆福德伯爵”[Count Rumford，本名本杰明·汤普森（Benjamin Thompson），1753年生于马萨诸塞州]，他的工作是为巴伐利亚公爵制作大炮。在钻孔时，他发现金属大炮和钻头变热了，并正确推测出是钻头的转动通过摩擦转化成了热量。蒸汽机恰好相反，在蒸汽机中，热量转化为火车车轮的转动。看来，热和转动这些看似不同的量可以互换，因此，可以很自然地想到一个统一的量把它们联系起来。这个量就是能量。拉姆福德不幸之处在于，他娶了安托万·拉瓦锡（Antoine Lavoisier）的遗孀。拉瓦锡是另一位伟大的科学家，在法国大革命中被送上了断头台。当时，拉姆福德误以为她会像对待拉瓦锡那样对他，为他尽职尽责地记笔记，像一个18世纪的模范妻子，温顺贤良。事实并非如此，库尔特·门德尔松（Kurt Mendelssohn）写有一本精彩的书，《绝对零度的探索：低温物理趣谈》（The Quest for Absolute Zero），在书中它揭示了事实真相。书中写到，拉瓦锡夫人只是顺从于拉瓦锡钢铁般的意志，她还给拉瓦锡带来了“地狱般的生活”（这本书写于1966年，书中有许多逸闻趣事）。但我们更关注能量守恒这件事，能量因为守恒才变得更有意思。
若上街去问人什么是能量，可能会有些合理的回答，但大多情况下是时髦的无稽之谈。“能量”是一个经常使用的词，在日常用语中有着丰富的含义。因此，必须明确指出，能量有一个精确的定义，它跟莱伊线[35]，水晶疗愈，死后的生命，或转世无关。相反，对一个明智的人来说，能量可能存储在电池中，它在那里等待着，直到有人“搭建好电路”；它还可能是运动的一个量度，速度快的物体含有的能量比速度慢的物体多。也许，海洋或风中储存的能量也是不错的例子。或者，你可能曾了解到较热的东西比较冷的东西含有更多的能量。再者，发电站内巨型飞轮里的能量不断被投放到国家电网中，以满足人们对能源的急迫需求，同样，能量还可以指从原子核内释放出来的核能。生活中，我们会遇到许多能量形式，以上只是其中的一些。物理学家对这些能量进行量化，并确保任何物理过程中总能量保持不变，实现能量的收支平衡。
让我们回到台球碰撞的例子，看看能量守恒在这个简单的过程中所起到的作用。碰撞前，每个台球都会因其运动而具有一定的能量，物理学家称这种能量为动能。在《牛津英语词典》（Oxford English Dictionary）中，“运动的”一词被定义为“由于运动或由运动产生的”，因此，“动能”这个名字很恰当地描述了类似于台球运动的能量。之前，我们假定质量相同的球一开始以相同的速度运动，由于动量守恒，两球碰撞后将以相同的速度向相反的方向运动。现在，仔细观察不难发现，碰撞后反向运动的速度比撞击前的要慢一点。原因是，在碰撞过程中，部分能量被耗散了。其中，最明显的耗散是由声音引起的，当两球碰撞时，它们搅动周边空气分子，形成的扰动传导到我们耳朵里，产生声音。结果导致一部分能量泄露出去，分给台球的能量便减少了。知道动能的数学表达式会有所帮助，但对于阅读本书来说，并不是必不可少。实际上，完成这段旅程，我们不需要知道如何量化不同形式的能量。当然，对于读过高中程度科学的人来说，动能的表达式E=½mv2已深深地烙在脑海中了。但在这里更重要的是，要认识到能量只需要一个数字来量化，要认识到系统的总能量始终保持不变。
现在，让我们回到正题。我们已经引入了动量，它是一个由箭头描述的量，并且和能量一样，它还是一个守恒量。这一切看起来都很好，却暗藏困难。因为，前面所讲的动量只是日常经验中的三维矢量。它的方向反映物体运动的方向，物体在空间中可以向任何方向运动，相应地，动量可以指上、指下、指东南或是指向空间中的任何其他方向。然而，把空间和时间孤立起来的倾向是错误的，这是我们上一章重点揭示的。因此，我们需要指向时空的四维箭头；否则，将永远无法建立满足爱因斯坦要求的基本方程。我们重申一下：基本方程应该根据时空中的事物建立起来，而不是根据空间或时间中的事物，因为，空间或时间中的事物有主观成分。这种主观性是指，物体在空间中的长度和两个事件之间的时间间隔随着观察者的改变而改变。同样，传统的动量也具有主观性，它是指向空间某处的箭头。究其根本，对时间的偏见导致了这一切。那么，时空的概念是否预示着旧的物理学基本定律的崩溃呢？的确如此，时空结构播下了摧毁它们的种子，同时展现了新的方向。它表明，我们需要找到一个不变的量，用来取代旧的三维动量。关键是，请记住这个不变量确实存在。
首先，让我们来揣摩下三维动量矢量。如图11，箭头表明当球在桌子上滚动时它移动的量[36]。更准确地说，假设中午的某个时刻，球在箭头的一头，2秒后运动到了箭头的另一头。如果球每秒移动1厘米，则箭头长度为2厘米。那么，我们很容易得到动量矢量。它同样用箭头来表示，方向与图11中箭头的指向完全相同，长度等于球的速度（在这个例子中是1厘米每秒）乘以球的质量。进一步假定球的质量为10克，那么物理学家会算出球的动量矢量的长度为10克厘米每秒（他们会把这个动量缩写为10克厘米/秒）。这样，我们引入了更抽象的变量，来替代特定的质量和速度。当然，我们不会变成学校里的数学老师。不过，如果用Δx替换箭头长度，Δt替换时间间隔，m替换球的质量（本例中Δx=2厘米，Δt=2秒，m=10克），那么，动量矢量的长度就可以简单地表示为mΔx/Δt。在物理学中，希腊符号Δ（发音为“delta”[37]）是很常见的，用来表示“差”。例如，Δt代表时间上的差值或两个事物之间的时间间隔，Δx代表物体的长度差，对于现在讨论的问题，它代表球始末位置之间的空间距离。
在三维空间中，成功构建球的动量矢量，还不是最令人兴奋的事。让我们勇往直前，去构建一个时空动量矢量，那才叫刺激。构建时空四维动量的方法，类似于三维情况中的方法。唯一需要保证的是，这个新的量必须是一个时空不变量。
我们从四维时空箭头出发，如图12所示，箭头的一端表示某一时刻球的位置，箭头前端表示一段时间后球的位置。箭头的长度由闵可夫斯基的时空距离公式即(Δs)2=(cΔt)2-(Δx)2来确定。请注意，Δs是普遍的长度，对每个人来说是唯一的（Δx或Δt绝对不是这样）。因此，在定义时空动量时，必须使用Δs来替代Δx，那么用什么来代替时间间隔Δt呢？（请不要忘记，我们现在所做的事情是定义四维动量，来代替mΔx/Δt）问题的关键是，Δt不是时空不变量，它随观察者的变化而改变，不适用于四维动量的定义，我们不能使用它。该怎么办呢？若不使用Δt，我们该采用什么方式划分时间箭头并确定球的时空速度呢？
四维动量要优于三维动量。同时在物体的速度远小于光速时，旧的动量与新的动量应近似相等。因此在构造四维动量时，必须用时空箭头长度除以一个与时间间隔类似的量。否则新的四维动量将与三维动量出入太大，不能满足近似关系。因为时间间隔的单位是秒，我们寻找的物理量的单位应该也是秒。从时空不变量、光速和距离Δs，可以看出只有一种组合的单位是秒，即箭头的长度（Δs）除以速度c。因为，Δs以米为单位，速度c以米每秒为单位，所以Δs/c以秒为单位。Δs/c一定就是我们需要的那个类似时间间隔的量，我们别无选择，它是唯一具有秒的单位。我们继续把Δs除以时间Δs/c，答案很简单，是c（这里的数学计算类似于1除以½等于2）。换言之，在四维时空中，宇宙上限速度c类似于三维时空动量公式中的速度。
我们对此应该很熟悉，这并不奇怪。我们所做的只是计算了一个物体（在我们的例子中是一个球）在时空中的速度，发现它是c。上一章中，在考虑摩托车手在时空景观上运动时，我们得出了完全相同的结论。本章，我们做了更多的工作，我们发现了一个时空速度矢量，物体在时空中运动时，它的速度长度总是c，方向指向它在时空中运动的方向。这一速度将用于四维动量的定义。
将时空速度乘以质量m，得到一个长度总是等于mc，方向指向物体在时空中运动方向的矢量，我们就完成新的时空动量箭头的构造。乍一看，这个新动量有些单一，它在时空中的长度一成不变。看起来，我们似乎什么都没做。请不要动摇。我们还不清楚刚刚构造的时空动量与三维动量的任何关系，这一关系是否对新时空观有用，还有待考察。(www.xing528.com)
我们现在观察下新的时空动量的时间方向分量和空间方向分量，以便更深入研究这一问题。我们需要一点数学知识，这不可避免，我们向不懂数学的读者表示歉意，我们保证放慢脚步。请记住，略读公式得到精华，永远是一个不错的选择。虽然数学论证更具有说服力，但不必去抠它的细枝末节。对熟悉数学的读者来说，反复强调这一点有些不厌其烦，我们同样表示歉意。曼彻斯特有句俗语：“你不能同时拥有和享用一个蛋糕。”这句俗语也许比数学更难理解。
回顾一下，我们得到了三维空间中动量矢量长度的表达式mΔx/Δt。我们通过Δs取代Δx，Δs/c取代Δt，构建了四维动量矢量，它的长度是mc，一个相当有趣的量。让我能再多写一段，完整地写下Δs/c，这个替代Δt的量，即Δs/c等于
。这个表达式有些烦琐，不过稍加处理，就会简单很多，即把它表示为Δt/γ，其中
。在推导中，我们用到了v=Δx/Δt，也就是物体速度的表达式。γ不是别的，正是我们在第三章中遇到过的量，它是表示运动时钟时间变慢的量。
我们已接近目标。这段数学推导的重要性在于它能让我们精确地计算出动量矢量的时间分量和空间分量。首先，我们回顾下三维空间动量矢量的处理方法。如图11所示，三维动量与球运动的方向相同，指向图中箭头的方向，但长度与球的运动不同，它是由运动的距离乘以球的质量，再除以时间间隔得到的。四维动量与之完全相似，它指向球运动的时空方向，也就是图12中箭头的方向。同样，为了得到动量，我们需要缩放箭头的长度，但是，这次我们要乘以质量的同时，除以不变量Δs/c（如上一段中所示，Δs/c等于Δt/γ）。仔细观察图12的箭头，可以看到，若在保持箭头方向不变的情况下，改变些许长度，那么，需要在x方向简单改变Δx，在时间方向改变cΔt，同时保持该变量相同。所以，动量矢量中指向空间方向部分的长度，就是Δx乘以m，除以Δt/γ，可以写成γmΔx/Δt。再由v=Δx/Δt是物体通过空间的速度，我们得到答案：动量时空矢量的空间分量长度等于γmv。
因此，我们构造的时空动量一点也不单调乏味，反而很有趣。如果物体的速度v远小于光速，那么γ非常接近1，我们从新动量到旧动量，p=mv，质量与速度的乘积。这很鼓舞人心，让我们乘胜追击。事实上，我们所做的远不止是将旧的动量转换成新的四维形式。首先，我们得到了一个更精确的公式，因为，当速度为零时，γ精确地等于1。
思考四维动量的时间分量，将比修正p=mv更有趣。有了以上的努力，计算这个时间分量就变得更简单了，图13给出了答案。四维动量的时间分量的长度等于cΔt乘以m再除以Δt/γ，即γmc。
不要忘记，动量之所以吸引我们，是因为它是守恒量。我们的目标是在四维空间中找到一个守恒的四维动量。想象时空中一堆指向不同方向的矢量，它们可以代表一些即将碰撞的粒子的运动。这些粒子碰撞又分开，空间将产生一组新的指向不同方向的动量。动量守恒定律告诉我们，所有新箭头的总和必须与碰撞前箭头的总和完全相同。也就是说，碰撞前后，所有箭头的空间部分的总和保持不变，时间部分的总和也保持不变。因此，当我们计算每个粒子的γmv时，碰撞前的总和与碰撞后的总和相同。对于时间部分也是如此，γmc总和保持不变。很明显，我们得到了两个新的物理定律：γmv和γmc是守恒量。但这两个特别的物理量对应什么东西呢？看上去，似乎没有什么值得激动的。因为，当速度很小时，γ就接近于1，γmv就变成了mv，我们又回到了动量守恒定律的老路上。不过，这是令人欣慰的，这符合我们的预期，我们想得到维多利亚时代的物理学家承认的东西。毕竟，在没有时空概念的情况下，布鲁内尔和19世纪其他伟大的工程师们做得很好。因此，物体运动的速度不怎么接近光速的前提下，动量的新定义给出的结论必须与工业革命时期的完全相同。毕竟，克利夫顿吊桥并没有因爱因斯坦提出相对论而突然倒塌。
关于γmc守恒呢，能挖掘出点什么？在γmc中，c是一个普遍的常数，对每个观察者都相同，那么说γmc守恒就等于说质量是守恒的。尽管出现这个结论有些令人意外，但它符合我们的直觉，似乎并没那么特别。就好像有人在说，煤在炉子里燃烧后，灰烬质量（包括烟囱里排出的任何物质的质量）应该等于燃烧的煤的质量。事实上，γ不应该受到轻视。尽管，我们可能会走开，满足于我们已经取得了很大的成就。我们成功地定义了四维动量。它是时空中一个有意义的物理量。它对19世纪的动量的概念进行了修正（大多情况下很小），同时导出了质量守恒定律。我们还能得到更多东西吗？
我们花费了很长时间才抵达上段的内容，里面还有些不完美的地方。接下来，我们将更加仔细地观察时空动量的时间部分，奇迹将在此发生，爱因斯坦最著名的公式也会跃然纸上。终局在望。米利都的泰勒斯正躺在浴池里，为最终的魔法做好了准备。读到这句话时，我们已经费了很多脑筋，也因此学到了四维矢量和闵可夫斯基时空等专业的物理学知识，已经为最后的壮举做好了准备。
γmc是守恒量。需要弄清楚这意味着什么。想象一个相对论台球游戏，每个球都有自己的γmc值，把这些数值加起来，无论总数是多少，都不会改变。现在我们耍一个小花招，因为c是一个常数，并且γmc是守恒的，那么γmc2也是守恒的。这个看起来毫无意义的转变很快就会显现出效果。当速度较小时，γ不完全等于1，却可以用公式γ=1+½（v2/c2）来近似表述。不妨用计算器验证一下，当速度远小于光速c时[38]，这个公式非常有效。下表也给了具有说服力的证据，不需要怀疑，这个近似公式（产生了表格中的第三列数据）非常准确。即使对高达光速的10%（v/c=0.1）的速度也成立，这样的速度通常也是很少见的。
简化后，γmc2约等于mc2+½mv2。正是基于这个公式，我们才能够真正认识到事情所带来的深远影响。当速度远小于c时，我们已经确定mc2+½mv2是守恒的。虽然γmc2守恒是更准确的说法，但是前一个方程更具启发性。为什么呢？很明显½mv2是动能，我们在碰撞台球的例子中看到过，它表示了质量为m的物体，由于运动而产生的能量。我们发现有一个守恒的东西，它等于某个量（mc2）加上动能。把这个“守恒的量”称为能量是有道理的，但现在它有两个元素，一个是½mv2，另一个是mc2。不要因为乘以c而感到迷惑不解，这样做只是为了得到½mv2而不是½mv2/c2，因为前者符合科学家多年来对动能的定义。如果你喜欢，你可以命名½mv2/c2为“动能质量”或任何其他名称。叫什么名字并不重要（即使“动能质量”与伟大的万有引力相联系而“能量”没有）。重要的是守恒量，是“时空动量矢量的时间分量”。当然，“时空动量矢量的时间分量等于mc”的方程并不像E=mc2那样吸引人，但它们具有相同的物理本质（表1）。
从时空的动量守恒定律，我们不但惊人地导出了一个新的三维动量守恒定律——改进的空间动量守恒定律，而且修正了传统的能量守恒定律。想象一个来回运动的粒子系统，我们已经确定，如果把所有粒子的质量乘以c的平方，再和它们的动能加起来，那么就会得到一个不变的量。接下来，对于维多利亚时代的人来说，他们更容易接受动能不变的断言和质量同样不变的断言（当然，我们考虑物理量不变时，乘以c的平方并不影响）。这样的断言和我们的不变量是一致的。但我们的规律远不止如此。现在看来，质量和动能在保持总和的情况下也可以相互转化，这一点不能被排除。总之，我们发现了质量和能量之间的相互转化规律，特别是从静止的质量m中（在这种情况下，γ等于1），我们可以提取E=mc2这么多的能量。
现在，我们的朋友，米利都的泰勒斯带着全部的魔法，从浴室中走出，来到他的嫔妃面前，他香气四溢，容光焕发。
让我们重复一遍：我们的目的是找到一个时空量，来对应三维空间中的动量，一个有意义的守恒量。这个量只能用时空距离、宇宙上限速度和质量来构造，因为只有这些量不随着观察者改变而变化。这个构造的时空动量有非常有趣的性质。我们从它的空间分量中，重新发现了动量守恒定律，在物体接近光速时，并对它进行了修正。但真正的宝藏藏在时空动量的时间分量中，时空动量的时间分量给了我们一个全新的能量守恒定律。新的能量不但包括旧的动能½mv2，还包括一个全新的量mc2。由此可以得出，一个物体，即使静止不动，也具有能量，它由著名的爱因斯坦方程给出：E=mc2。
这是什么意思呢？还是要从有趣的能量守恒说起。所谓能量守恒是指，“能量在此处增加，必然在别处减少”。另外，我们刚才已经确定，物体的质量也是潜在的能量源泉。比如，拿一块一千克的物体（不管是什么），对它进行某种“操作”，让它消失掉。这里所说的消失，并不是简单地把这1千克重的东西磨成碎屑，它真的消失了。那么，取代这块物体的，必然是1千克的能量（可能还要加上对它“操作”过程中投入的能量）。这1千克能量的形式可能是质量和动能，例如，消失的东西所含能量的一部分产生了几百克的新“物体”，而剩余的能量转化为动能：新生物体快速地运动着。当然，这是一个我们编造的物理场景。尽管如此，类似场景却被爱因斯坦理论所允许，非常值得玩味。在爱因斯坦之前，没有人会想到物质可以毁灭，质量可以转化为能量，因为质量和能量被认为是毫不相关的。在他之后，事情发生了转变，人们不得不承认质量和能量仅仅是事物的不同表现形式。因为，能量、质量和动量组合成了一个时空量——时空动量矢量。在物理学界，它被称为能量—动量四维矢量。与空间和时间一样，能量和动量也不再被当作独立的量来看待了，它是能量—动量四维矢量这个更深刻物理量的影子。我们的直觉愚弄了我们，导致了偏见，才使得我们将时间和空间分开，将能量和动量隔离，心安理得地相信它们是不相关的东西。但是，大自然并非如此，质量转化为能量的现象普遍存在。假如这类过程不能发生，人类就不会存在。
质量转化为能量的说法强硬有力。在剖析它之前，我们需要进一步解释下物质的“毁灭”是什么意思。毁灭并不意味着花瓶跌落，摔成碎片。一个珍贵花瓶的碎裂令人沮丧，清扫碎片仔细称量，它碎裂前后的质量并没发生改变。我们所说的物质“毁灭”不是这个意思。相反，它是指花瓶破坏后，原子比以前减少了，相应的质量也减少了。“毁灭”是一个新的概念，会引起争议。我们一向认为物体由细小的部件构成，我们可以把它们拆散重排列，但不能摧毁它们，这个观点源远流长，可以一直追溯到古希腊的德谟克利特[39]，足见它强大的说服力。然而，爱因斯坦的理论推翻了这种世界观，并展现了一个新的物质观念。在爱因斯坦的世界中，物质的边界模糊了，它可以突然产生，又可以突然消失。这种毁灭和创生的过程，在粒子物理加速器中进行着。我们稍后就会谈起这些有趣的现象。
我们即将抵达故事的高潮，这是最美妙的部分，泰勒斯也会神魂颠倒，不知所措。我们将确切地确定c即是光速。因为，以时空方式思考世界，c是指宇宙上限速度，而不是光速，这一点需要一直强调。在上一章中，我们绕到第三章，借助那里的结果，确定了c就是光速。现在，我们不去借助其他想法，不把c解释为宇宙上限速度，而是去深入时空框架之内，寻找E=mc2中c的新的解释。
爱因斯坦质能方程含有一个奇特而隐蔽的特性，这个特性就是重新解释c的法门。为了进一步研究，我们放一放近似分析的方法，严格写出来能量—动量四矢量的空间部分和时间部分，它们分别是γmv和γmc2。我们对此进行发问：如果一个物体的质量为零会发生什么？看起来这个问题有些奇怪。如果仅凭观感，你会发现如果质量等于零，那么物体总是有零能量和零动量，也就是这种情况下，什么都不存在，没有任何东西。但数学公式暗藏玄机，事实并非如此。仔细观察γ项，
，假定物体以速度c运动，那么就会有1/0（0的平方根是0），γ变为无穷大。但质量为0，速度为c情况比较特殊。在这种情况下，根据动量和能量的表达式，我们得到无穷大乘以零，一个没有数学定义的关系。也就是说，能量和动量的表达式对这种特殊情况是失效的，我们无权据此得出结论，对于无质量的粒子，它的能量和动量必须为零。然而，我们可以换一个角度发问，动量和能量的比值会怎么样呢？简单推演一下，把E=γmc2除以p=γmv得到E/p=c2/v，代入v=c，就得到一个有意义的方程E=cp。因此，即便物体的质量为零，它的能量和动量也可以不等于零，前提是它必须以速度c运动。爱因斯坦的理论允许无质量粒子的存在。下面该实验派上用场了，实验发现光是一种粒子，被称为“光子”，并且它的质量为零。因此，光必须以速度c传播。问题是，如果未来的某一天，实验证实光子有一个很小的质量，该怎么办？好吧，希望你现在能回答这个问题。其实，我们什么也不用做，只要回到第三章，把爱因斯坦的第二个假设替换掉，改成“无质量物体的速度是个普遍适用的常数”。也就是说，这个测量出光子质量的实验并没有改变常数c，它只是不允许我们把它与光的传播速度等同起来而已。
这一点相当深刻。E=mc2中的c之所以与光有关系，是因为光子恰好是无质量的粒子。从历史角度来看，这是非常重要的，由于光的特性，法拉第这样的实验学者和麦克斯韦这样的理论家便通过电磁波传播现象接触到了宇宙上限速度。对爱因斯坦的思想也是这样，如果没有宇宙上限速度和光速相等的巧合，他就不会发现相对论。我们也永远不会知道相对论。用“巧合”这个词可能是恰当的，因为粒子物理学没有提供根本的理论保证光子的质量一定等于零，这一点将在第七章中了解到。此外，一个被称为希格斯（Higgs）机制的理论，可能赋予光子一个非零的质量。因此，把E=mc2中的c视为无质量粒子的速度更为准确，这些粒子绝对地遵循着这个速度在宇宙中运动。从时空架构来看，c的引入使得我们能够计算时间方向的距离，它深深植根于时空结构之中。
光速平方这个因子可能没能逃过你的眼睛，与质量有关的能量都带有这一因子。相对于日常的车水马龙（½mv2中的速度v），光速是如此之大，锁在质量中的能量的体量就不足为奇了，即便是很小的质量也能释放出惊人的能量来。我们还没能声称这种能量已被证明可以直接获取。但如果我们能够做到这一点，那将是多大的能源供给啊，说我们坐在能量的金山银山上，不为过吧？我们还可以量化它，毕竟手头有这样一个公式。当一个质量为m的粒子以速度v运动时，它的动能大约等于½mv2，而质量储存的能量等于mc2（我们假设v比c小，否则我们需要使用更复杂的公式γmc2）。为了更好地理解这些等式的意思，我们代入一些数字。
一个灯泡通常每秒辐射100焦耳的能量。焦耳是能量单位，以詹姆斯·焦耳（James Joule）的名字命名。詹姆斯·焦耳是曼彻斯特的一个伟大人物，他的智慧推动了工业革命。100焦耳每秒的能量等于100瓦，瓦是以苏格兰工程师詹姆斯·瓦特（James Watt）的名字来命名的。这些日常物理量的单位体现着我们对19世纪的纪念，那是科学取得惊人进步的世纪。对于一个拥有10万居民的城市，估算一下，需要大约1亿瓦（100兆瓦）的电力供应。即便要产生100焦耳的能量，就需要相当大的机械力了。这个能量相当于以135英里每小时的速度运动的网球的动能，135英里是职业网球的发球速度。你不妨简单验证下，一个网球的质量是57克（或0.057千克），135英里每小时几乎等于60米每秒。把这些数字代入½mv2，网球的动能便等于½×0.057×60×60焦耳。这里1焦耳定义为2千克质量以1米每秒的速度移动的动能（这个定义是我们将速度从英里/小时转换为米/秒的原因）。然后，简单做下乘法，就可以得到能量的结果了。因此我们需要挥动网球拍（每秒一次）来为电灯泡供电。实施上，我们需要发速度更大的球，或者提高发球频率，因为，我们还需要从这些球中提取动能，将其转化为电能（通过发电机），并将其输送到灯泡。点亮一个电灯泡，确实要费一番周折。
点亮一个灯泡需要多少质量呢？如果我们使用爱因斯坦的理论，把质量全部转化为能量的话？根据质量等于能量除以光速的平方：100焦耳两次除以3亿米每秒。答案超过0.000000000001克一点点，也就是百万分之一的百万分之一（即万亿分之一）克。这样算来，我们每秒钟只需要销毁1微克的物质就可以为一座城市提供电力。我们只需要3千克的材料就可以让这座城市维持100年，因为一个世纪大约有30亿秒。毫无疑问，被锁在物质内部的能量与我们通常的能量有着完全不同的体量。如果我们能释放它，利用它，我们就解决了地球上存在的能源问题。
最后再说一点。对我们来说，质量中蕴含的能量简直是天文数字，很容易把原因归结为光速，因为光速是一个非常大的数字。这样做显然没有抓住问题的核心。问题的关键是我们日常应对的速度与宇宙上限速度相比非常小，因此相对于mc2，½mv2是一个非常小的数字。我们之所以生活在能量相对较低的环境中，归根结底与自然力的强弱有关，特别是电磁力和引力的相对较弱有关。我们会在第七章进入粒子物理的世界，在那里更详尽地讨论这个问题。
爱因斯坦之后的半个世纪里，人类最终发现了从物质中提取大量的质能[40]（mass energy）的方法。今天，核电站是毁灭物质的装置。相反，数十亿年来，大自然一直在利用E=mc2。我们应该非常真切地感受到E=mc2是生命的种子。如果没有它，太阳不会燃烧，黑暗会永久笼罩大地。
[34]诺维奇（Norwich）是英国英格兰东部城市，西南距伦敦145千米。
[35]传说是在地球上的某些点，能产生“精神能量”共鸣。（原书注）
[36]并不一定特指一个球，可以是任何物体。
[37]中文读音：德尔塔。
[38]也就是说，它给出的值几乎与公式
的准确值相同。（原书注）
[39]德谟克利特（约公元前460—公元前370），古希腊伟大的唯物主义哲学家，原子唯物论学说的创始人之一。他认为，万物的本原是原子和虚空。原子是不可再分的物质微粒。
[40]质能：通过毁灭质量获得的能量，与动能等对应。
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