在前面的章节中，我们紧随历史，领略了相对论的来龙去脉。一路走来，我们的思考与爱因斯坦当初发现相对论时的思索相差无几。回想一下，不得不承认，空间不是上演生活琐事的大舞台，时间也不是恒常流失的时间。相反，我们逐步认识到，时空是可伸缩的，是依赖于观测者的，也就是个体化的。不再有一个大钟能放之四海皆准，它被推倒了，被抛弃了。传统空间的命运也是如此。我们之所以认为它是包裹着生活的大盒子，只是因为这样做能让我们最便捷、最快速梳理身边的事情。空间也只是一个空间意识，一个想象的网格，套在运动的物体上，赋予它们位置，这样，危险的捕食者被避开，食物被轻易获取，人们以此在危险的环境中生存下来，并做出富有挑战性的事情。数百万年来，空间意识被自然选择强化，最终深深扎根于大脑的深处。尽管如此，我们仍没有理由认为这种模型应该对应着什么东西。别忘了，我们总是带着有色的眼镜看待这个世界。然而，我们迈出了重要的一步。我们接受了灯火阑珊中，法拉第长凳上的实验，接受了麦克斯韦对实验的总结和解释。我们相信了科学，并拒绝了那个两百万年来一直支撑祖先生存和繁荣的时间和空间意识，无论它多么舒适，多么深地扎根于人类的心灵深处，并被逐步强化。抛弃我们祖先赖以生存的空间意识，会让人困惑、眩晕、迷失方向。但随后便是茅塞顿开，世界再次豁然开朗，科学带来无比的欢乐。如果你已经困惑不已，不要急，最后本书会帮你开启顿悟之门。
本书的目的不是讲述相对论发现的历史，而是找到一个最具启发性的方法来呈现时间和空间的理论，这样看来，只讲历史不是最好的选择。现在，离爱因斯坦的革命性创举已经有一个多世纪了，回望这段时光，我们发现一种更深刻的方法来思考时间和空间。与其深入挖掘老式的教科书的观点，不如我们从空白的画布上重新开始，跟随闵可夫斯基，领悟他的智慧。在他看来，时间和空间并非独立的，它们要合二为一。我们需要跟随他画出一幅优美图画，E=mc2就藏在里面。
让我们开始新的旅程。不用数学公式，只借助画图和概念等几何语言就可以构建爱因斯坦的理论。这一方法的核心是三个概念：不变性、因果关系和距离。对非物理专业的读者，前两个词会比较陌生，相比而言，第三个词较为常见，但需要做些微妙处理。
不变性是现代物理学的一个核心概念。请停下阅读，抬头看看眼前的世界，然后转身，再向后看看。虽然地方不同，房间看起来不一样，但自然法则在每处都是一样的。东南西北，无论你面向哪个方向站立，重力都一样，它让你站在原地。不管伦敦、洛杉矶还是东京，无论哪个城市，电视都能工作，汽车都能发动。这些例子都体现了不变性。这样看来，不变性有点显而易见，不过如此。但是，若把不变性强加到科学理论上，那将卓有成效。刚才的例子就包含两种形式的不变性。面对不同的方向确定自然法则，那么自然法则不会随旋转而改变的要求称为旋转不变性。从一个地方移动到另一个地方，定律不随着平移改变的要求称为平移不变性。这些要求看似微不足道，在艾米·诺特（Emmy Noether）的手中却有惊人的力量。诺特被爱因斯坦称为数学史上最重要的女性。1918年，诺特发表了一个定理，揭示了不变性和物理量守恒之间的深层关系。在谈论物理学中的守恒定律之前，让我们先看看诺特的深刻结论。例如，朝不同方向看世界，如果自然规律在各个方向保持不变，那么就有一个守恒量，这个守恒量叫作角动量。对于平移不变性，有一个守恒量叫作动量。这些结论非常重要，为什么呢？让我们跨过艰涩的字眼，拿一个有趣的物理事实来说明它吧。
月球每年都会远离地球4厘米。让我们揭示其中的原因。发挥想象力，若假定月球悬在空中，一动不动，由于月球引力的作用，正对月球的海面会向上凸起一些，地球就会每天经过凸起，在这个凸起下面自转。这便是潮汐形成的原因。潮汐在水和地球表面之间产生摩擦，减慢着地球的自转速度。潮汐对地球自转的影响微乎其微，但可以通过地球日测量出来。实际上，地球日正逐渐延长，大约每世纪增加千分之二秒。若用物理学家的话来说，那就是由于潮汐，地球的角动量随时间推移而减少，因为物理学家用角动量衡量旋转速率。根据诺特的理论，因为世界在每个方向上都是一样的（更准确地说，自然法则在旋转变换下是不变的），所以角动量是守恒的，也就是总的旋转的量保持不变。那么地球因潮汐摩擦而失去的角动量去哪里了呢？答案是月球。具体说来，月球在其绕地球的轨道上通过加速补偿了减慢的地球自转[25]，并且这种加速使月球稍微远离地球。也就是说，为了确保地球和月球系统的总角动量守恒，月球必须上升到更高的月球轨道上，以补偿减慢的地球自转。事实确实如此，奇妙无比，月球这颗硕大的球体，每年远离一点，恪守着角动量守恒的规律。意大利小说家伊塔洛·卡尔维诺（Italo Calvino）觉得这美妙无比，还因此写了篇短篇小说《月亮的距离》（The Distance of The Moon）。在小说中，他想象了一个遥远的过去，某个先辈每天晚上乘船横渡大洋，与月亮相遇，借助梯子便爬上了月球。然而，岁月流逝，月亮慢慢远离大地，直到有一天晚上，梯子的长度不再足够长，爱月亮的人不得不做出选择，要么永远困在月球上，要么回到地球上。在卡尔维诺的手中，这一奇幻的浪漫故事有不变性概念的影子，暗含着不变性与物理量守恒之间的深刻联系。
不变性对现代科学非常重要，这值得一再强调。因为，物理学的核心是构造一个普遍适用的知识框架，其中的规律绝不是一些毫无根据的浅薄意见。物理学家的目的是揭示宇宙的不变性，这些不变性使他们能够像诺特一样获得对世界的真知灼见。然而，发现不变性绝非易事，因为大道至简、至美，却深藏不露。
现代粒子物理学最能说明对称性的魅力。粒子物理学是研究亚原子世界的学科，它探索宇宙的基本组成单元，以及它们之间的相互作用力。我们已经讲述了电磁力，一种基本相互作用力，它解释了光的本质，并引导我们发现了相对论。除了电磁力，还有另外两种基本相互作用力支配着亚原子世界。强力将原子核聚集在原子的核心。恒星的发光及其伴随的某些类型的放射性衰变都与弱力有关，例如，放射性碳定年法中碳元素的衰变。第四种基本相互作用力是万有引力，它最常见，也最弱。现今，最好的引力理论仍然是爱因斯坦的广义相对论，随后我们将看到，它是一种时空理论。12种基本粒子凭借这4种基本相互作用力，相互结合，构成了太阳、月亮、恒星，还有太阳系中的行星、我们的身体，眼前的一切。乍一看复杂无比的宇宙变得难以置信的简单起来。
放眼窗外，午后的阳光，穿过楼宇，扯下城市扭曲的倒影。或是乡间，篱笆绿地，奶牛成群。无论城市还是乡村，到处都是人类的痕迹，文明无孔不入。直到21世纪，物理学告诉我们，137亿年来支配世界的规律仅仅涉及少数几个亚原子粒子和4种基本相互作用力。窗外的繁杂景象，只不过是意识和灵敏的感觉在人类复杂大脑里的综合产物，它掩盖了大自然潜在的简单和优雅。科学家寻找着大自然的罗塞塔石碑[26]，上面写着神秘的语言，讲述着自然的壮美。
数学是一种探索和利用大自然特性的工具。这句话本身包含一个深刻的问题。正如尤金·维格纳所说：“数学能够非常恰当地表达物理定律，这是一个奇迹。数学是上天赐予的礼物。我们无法理解为什么会这样。”这本书通篇都试图解释为什么会这样。也许我们永远不会理解数学和自然关系的真正本质。但经验证明，数学让我们组织思维，以便更有效地引导我们深入理解所思考的内容。
我们一直在努力强调数学对思维的有效组织作用，实际上，物理学家写下方程时，只不过更好地表达了各种真实“事物”之间的关系。例如，速度=距离/时间。在讨论光钟时，我们用到了这个关系。用数学符号，可以把它表示为v=x/t，其中v是速度，x是行驶的距离，t是行驶的时间。如果你在一小时内行驶了60英里，那么行驶的速度便是60英里每小时。最有趣的方程能够描写大家都认可的自然现象。也就是说，最有趣的方程处理不变量，即不以我们的观测角度而改变的量。在爱因斯坦之前，常识告诉我们空间中任意两点间的距离都是一个不变量。但常识并不可靠，上一章我们已经看到，事情并不是这样。同样，时间也不是一个不变量，它的流逝取决于观察者，它的变化依赖于时钟相对于彼此运动的速度。因此，爱因斯坦打破了事物古老的秩序，我们不能再依靠距离和时间来建立一个可靠的宇宙图景。对于寻找自然深层规律的物理学家来说，v=x/t不再是表示不变量之间关系的公式了，没有根基了。总之，旧的时空观破坏了，物理学的基础动摇了。接下来，该怎么办呢？
猜想是重建宇宙秩序的一种方法。猜想说白了就是“猜”，科学家总是这么做。在寻找基础理论时，光靠聪明是没用的。有时候一个好的猜测便可以事半功倍。只要猜测能与实验相符合，它就成功了。下面给出一个非常激进的猜想：时间和空间合二为一，形成一个被称为“时空”的实体，然后，根据不变性的要求，时空距离是一个不变的量。这个论断非常大胆，它丰富的内涵将被逐步揭示出来。其实，仔细想一想，这个想法可能也不过如此。因为，当我们失去古老的确定性，失去空间中绝对不变的距离和放置四海皆准的时间大钟，也许我们能做的就是把这两个概念统一起来。接下来的挑战是，寻找一种测量时空距离的方法。需要注意的是，这种新的距离不会因我们相对彼此运动而改变。为此，我们需要仔仔细细地研究时空整体（spacetime synthesis）的运作方式。但首先要搞明白，在时空中寻找一个距离到底是怎么一回事？
假设我早上7点起床，8点吃完早餐。基于以前实验得到的结论，下面的表述是正确的：（1）从床到厨房的空间距离，我测量出为10米，高速飞过的人却测量出不同的距离；（2）我的手表显示我用了1个小时吃完早餐，但对此，高速观察者会记录一个不同的时间。因此我们需要找到一个不变量。通过猜测，从我起床到我吃完早餐之间的时空距离可能是不变的，是我和高速飞过的观察者可以达成一致的量。这种能够达成共识的物理量非常重要，是建立自然法则的基础。当然，现在只是猜测，还没有证明，甚至还没有确定计算时空中距离的方法。这些都需要进一步推进。但是，在这之前，我们需要解释因果关系。因果关系是构建爱因斯坦理论的另一个核心概念。
与不变性一样，因果关系也是一个显而易见的概念，若用它给物理规律强加限制，也将产生深刻的影响。因果关系是指原因和结果的顺序非常重要，它们的顺序不能颠倒。母亲生儿子，而不是儿子先于他的母亲出生，任何内在一致的时空都必须保持这样的因果关系。
因此，构建一个儿子先于母亲出生的宇宙理论是可笑的、矛盾的。这样说来，没有人会反对因果关系对时空的要求。
需要注意的是，人类生活中经常忽略因果关系。预言便是很好的例子。诺查丹玛斯[27]就是一位被推崇至今的预言家，据说他能在梦中或是恍惚神秘的状态中看到未来发生的事情。也就是说，诺查丹玛斯生前可以看到他死后几个世纪发生的事件。诺查丹玛斯死于1566年，但有人认为他看到了1666年伦敦大火，拿破仑和希特勒的崛起，2001年9月11日美国遭受的袭击和1999年俄罗斯出现反基督的人。我们对俄罗斯反基督教的预言比较感兴趣，因为这个人还没出现，也许他/她正在成长中，会在本书出版前崭露头角呢。
把预言的娱乐成分放在一边，让我们引入一些重要的专业术语。诺查丹玛斯的死是一个“事件”，跟阿道夫·希特勒（Adolf Hitler）的诞生和伦敦大火一样。诺查丹玛斯看到他死后的事件，比如那场伦敦大火，就颠倒了大火和他的死亡这两件事件的顺序。再明显不过，诺查丹玛斯死在大火之前，因此他不可能看到它。他若要在死前看到它，那么必须颠倒事件顺序，让大火在他死前发生。更明确点说，假设诺查丹马斯巧妙地安排了这场大火。比如，他死时留下一笔银行存款，鼓励某人于1666年9月2日午夜后不久在布丁巷放火。这样，诺查丹玛斯的生死和伦敦大火两个事件之间就建立了更加明确的因果关系。稍后会谈到，在爱因斯坦的宇宙中，事件之间的顺序（事件之间的因果关系）不可逆转，因果关系无法被撼动。
但是，若两个事件在时间和空间中相距足够远，以至于它们之间不可能产生任何影响，那么它们的顺序是可以颠倒的。也就是爱因斯坦的理论允许事件的顺序被颠倒，只要这样做对宇宙的运行不产生影响。稍后，我们将解释“足够远”的意思。现在，因果关系的概念已经是我们构建时空理论的公理了，它是否适用，要看能否成功预言实验结果。让我们拭目以待。其实，诺查丹玛斯做过一次成功的预言。当他患上一场特别严重的痛风后，他告诉秘书：“日出时，你将发现我已死去。”第二天早上，人们发现他的确死在了地板上。
因果关系和时空有什么关系？特别是，与时空距离有什么关系？我们先解开答案吧。坚持具有因果关系的宇宙，让我们没有多少时空结构可选择。实际上，在保留因果关系的情况下，只有一种方法能把时间和空间结合起来，形成时空结构。任何其他方式构建的时空，都会违反因果关系，让一些异想天开的事情成为可能，比如，可以回到过去阻碍自己的出生，比如，允许诺查丹玛斯篡改自己以往的生活方式，避免痛风发生。
现在，让我们从因果关系回来，回到发展时空距离这个挑战上来。我们暂时把时间放在一边，从三维空间中最普通的距离概念开始。我们对这个距离概念比较熟悉，先拿它热热身。测量地图上两个城市之间的最短距离，那么地球表面上这两点最短距离的路径将是一条曲线，这条曲线叫作大圆航线[28]。这对坐过长途飞机并玩过飞机娱乐系统的乘客再熟悉不过了，因为，他可以时刻从系统的地图上看到自己的飞行动态。图3显示了一张地球地图，上面画着一条线，对应着曼彻斯特和纽约之间的最短距离。拿着地球仪，仔细端详，有这样一条线，一条标识着两点之间最短距离线。它是一条曲线，这一点需要多点说明。原因是地球是个球体，它具有一个弯曲的表面。假如把地球的表面平铺成一张平面地图，那么地图中，格陵兰岛看起来会比澳大利亚大得多，实际上它比澳大利亚小很多。我们很清楚，直线距离是平面空间中两点之间的最短距离。这属于平面几何，又称为“欧几里得几何”。欧几里得当时并不知道他的平面几何只是几何家族中的一个成员。这事直到19世纪才搞清楚，非欧几里得几何在数学上也是合理的，有些还可以用来描述自然。弯曲的地球表面就可以由非欧几里得几何来描述。在非欧几里得空间中，两点之间的最短距离不是欧氏直线。
欧几里得几何还有其他的基本性质，有一些我们比较熟悉，但这些基本性质在地球表面也不再成立了。例如，三角形内角和不再等于180°。再如，在赤道上画两条指向南北的平行线，将在地球两极相交。在弯曲空间中，欧几里得方法不再适用，该如何计算距离呢？具体来讲，如何在地球表面计算距离呢？地球仪和绳子就可以提供一个易于上手的方法，来正确计入地球曲率的影响。对飞行员来说，拿一个地球仪，指出两个城市，在它们之间拉一根绳子，用尺子测量所需绳子的长度，然后将这个长度与地球和地球仪大小的比值相乘，就可以得到两座城市间的距离了。假如手头没有地球仪呢？假如我们的任务是编写一个程序，用于导航呢？很多情况下，绳子测量是达不到要求的，我们需要做得更好，需要找到一方程式，分别给定任意两点经度、纬度，给定地球大小和形状的情况下，计算这两点间的距离。找到这个方程式并不难，若你懂一些数学，可以自己尝试下。我们不打算把它写出来，也没必要，你需要记住的是有这么一个方程，它不属于欧几里得几何。它能够计算球体上两点之间的最短距离，就像勾股定理能够计算桌面上两点（三角形斜边）之间最短距离一样。直线在欧几里得空间中表示两点之间最短的距离，不再适用弯曲空间。对于弯曲空间和平直空间，我们引入测地线这个新的术语，来表示两点之间的最短距离。那么，直线是平面空间的测地线，大圆是地球表面的测地线。有关三维空间的距离就写到这里。让我们继续，去处理如何确定时空距离的问题，我们需要加入时间，问题因此会变得复杂一些。
我们曾给了一个起床和在厨房吃早餐的简单例子，用到了空间距离和时间间隔的概念。床和厨房之间的空间距离是10米，这样说没问题。如果说从起床到吃完早餐的时间距离是1小时，听起来就比较奇怪了。这不是我们平常思考时间的方式，我们不习惯用这种几何学的语言。我们宁愿说：“从我起床到吃完早饭，过去了一个小时。”我们不会说：“从我起床到在厨房坐下来，10米过去了。”空间就是空间，时间就是时间，日常谈话中，决不能把两者混为一谈。然而，现在我们恰恰需要把两者混合在一起，因为，这可能是麦克斯韦和爱因斯坦重建事物秩序的唯一方法。让我们带着这个任务继续下去，看看会得到什么结论。这可能是本书最难懂的部分，因为这里用到了大量的抽象思维，这在日常生活中很少使用。抽象思维赋予科学力量，也给它带来了艰涩的坏名声。幸好，在电场和磁场的讲述中，我们已经有了抽象概念的经验，将空间和时间合并在一起，这个抽象过程可能就不再具有挑战性了。
当说到“时间距离”时，时间被视为一个额外的维度。我们曾接触过“3D”这个词语，它是指上下、左右和前后等空间的三个维度。为了定义时空距离，我们试图把时间加到维度的框架中，这实际上是在创建一个四维时空。时间维度与空间维度有所不同。人们可以在空间中自由行动，在时间中却只能勇往直前。但这不算是障碍。把时间看作“另一个维度”是一种抽象的飞跃，我们不得不这样做。这话听起来让人困惑不解，我们需要发挥想象力，去感受一下一个二维生物的世界，作为一个二维生物，你只能向前、向后、向左和向右移动。你从来没有经历过上下起伏。你无法在平坦的世界里理解第三个维度。除非你是一个数学爱好者，乐于接受第三个维度，你仍然可以通过数学来理解脑海中无法想象的额外维度。四维空间对人类来说也是这样。但随着本书内容的展开，把时间看作“另一个维度”就不会那么别扭了。要知道，刚到曼彻斯特大学，准备学物理的大学生，学到这个观点时，也会困惑很久。第一次遇到难的概念就把能它消化掉的人很少。概念在慢慢使用中变得清晰。用道格拉斯·亚当斯（Douglas Adams）[29]的话来说：“不要惊慌！”
下面我们轻松一会，认识下“事情的发生”，这非常平常，如，我们醒来，做早餐，吃早餐，等等。我们将事物的发生称为“时空中的事件”。时空中的事件可用4个数字来唯一地表示，它们是三个空间坐标，用来描述事件发生的地点，一个时间坐标，用来描述事件发生的时间。空间坐标可以使用任何旧的测量系统来确定。例如，用经度、纬度和高度来表示地球附近发生的事情。这样，你在床上的坐标可能是N 53°28'2.28"，W 2°13'50.52"，海拔38米。同样，时间坐标是用一个时钟来指定（因为时间不是普遍的，需要说清楚是谁的时钟）。当闹钟响了，你醒来时，可能是格林尼治标准时间早上7点。以同样的方式，4个数字可以唯一地定位时空中的任何事件。请注意这些坐标是由特定的坐标系[30]确定的，都是相对于穿过英国伦敦格林尼治的一条线来测量的。1884年10月，这项公约由25个国家商定，其中反对的是圣多明各（法国弃权）。但选哪个坐标系没有什么特别要求。选择什么样的坐标系，结果没有什么差别。这一点很重要。
早晨醒来，是一个事件，我们把它看作我们时空中的第一个事件。把吃完早餐看作第二个事件。回想一下之前的说法，两个事件的空间距离是10米，时间距离是1小时。为了准确起见，需要这样表述：“我用卷尺的两端连接床和桌子，测量了床和早餐桌之间的距离”“我用床边的闹钟和厨房里的闹钟测量了时间间隔”。别忘了，这些时间距离和空间间隔并不是普遍的，我们没有与其他人形成共识。坐飞机飞过你家的人就会认为，你的闹钟慢了，你的床和早餐桌之间的距离缩小了。是否还记得，我们的目标恰恰是在时空中找到一个大家能达成一致的距离？关键问题来了。“如何用10米和1小时构造一个具有不变性的时空距离？”针对这个问题，我们需要小心谨慎，就像地球表面上的距离一样，很可能会放弃欧几里得几何。
计算时空距离，首先要解决单位的问题。时空距离的单位是米，时间距离的单位为秒，怎么将两者结合起来呢？这就像把橘子和苹果相加，毕竟它们不是一样的东西。然而距离和时间可以通过v=x/t相互转换，距离可以转换成时间，时间也可以转换成距离。对上面的式子做点小转变，就可以把时间写成t=x/v，或者把距离写成x=vt。也就是说，距离和时间可以通过速度相互转换。这里引入一个速度c，作为标准速度。这样，只要用标准速度乘以时间间隔，就可以用米做单位来表示时间了。在以上推理过程中，我们没有限定这个速度的具体数值，因为还没有理由确定它的实际值。这种时间和距离互换的技巧在天文学中非常常见。例如，我们到恒星或星系的距离通常是以光年来衡量的，也就是光在一年内所经过的距离。光年是一个以年为单位的距离，我们已经习惯了这样的用法。不难看出，在天文学中，校准速度就是光速。
这又进了一步，使时间间隔和距离间隔具有相同的表示形式。例如，它们都可以以米、英里、光年或诸如此类的方式给出。图4显示了时空中的两个事件，它们用小十字表示。现在最重要的事情是找到一个规则来计算这两个事件在时空中相距多远。看这张图，给定其他两边的长度，我们想知道斜边的长度。为了更精确一点，我们把三角形底边的长度标记为x，高度标记为ct。这意味着两个事件在空间上相距x，在时间上相距ct。因此，参照前面的例子，x=10米是从床到餐桌的空间距离，t=1小时是时间上的距离，我们的目标是回答“给定x和ct，斜边s是多少？”这个问题。到目前为止，因为c是任意的，ct可以是任何数值，所以我们仍得不到答案。继续前进！
我们必须确定一种方法来测量斜边s的长度，即时空中两个事件的距离。应该选择欧几里得空间吗？选择欧几里得空间，我们就可以使用勾股定理了。还是选择更复杂的几何空间？也许空间是弯曲的，像地球表面或者其他更复杂的形状。事实上，我们可以想象出无数种计算距离的方法。不妨进行猜测，猜测是物理学家经常做的事情。我们以奥卡姆剃刀原理为指导进行猜测。奥卡姆剃刀原理非常重要，且很有用，它是以生活在14世纪初的英国思想家威廉的名字来命名的。这个想法说起来很简单，实行起来却不容易。它可以被概括为“不要把事情复杂化”。奥卡姆本人将其表述为“除非必要，勿增实体”。但这引入了一个问题：为什么他在表述原理时不注意下自己的句子？[31]无论表述如何，当用于理解自然世界时，奥卡姆剃刀原理是非常强大的，甚至是干净利落的。确实如此，我们首先应该尝试最简单的假定，只有当它失败时，才去一点一点地增加复杂性，直到假设符合实验验证为止。对于我们当下的问题，至少假定时空中的空间部分是欧几里得的，这是构建距离的最简单方法了；换句话说，空间是平坦的。这意味着把日常我们计算物体间距离的方法原封不动地用于新的坐标系中。就在我们读这本书时，房间里物体的间距也用这个方法计算着。另一个简单的假定是时空是恒定的，并且是均匀的。这些都是重要的假定。事实上，爱因斯坦最后放宽了这些假定的限制。通过放宽限制，他得以考虑离奇古怪的空间弯曲，即时空可以不断地被放在其中的物质和能量改变。这引出了他的广义相对论，迄今为止最好的引力理论。我们将在最后一章讨论广义相对论。现在，我们先忽略所有的时空变化和扭曲。一旦遵循奥卡姆剃刀原理并做出这两个简单假定，就只有两个计算时空距离的方法可供选择了。斜边的长度要么是s2=(ct)2+x2，或者是s2=(ct)2-x2，没有第三种可能。虽然我们不能通过证明得出这些具体的形式，我们却通过恒定的和均匀的时空假定导出了它们。我们必须在正号和负号之间做出选择。当然，无论证明与否，都应该看看在应用它们的过程中我们会得到什么，并根据得到的结果判断哪一个更合适。
以上选用的两个式子只有正负号的区别，这说明，它并没有比勾股定理复杂太多。我们必须搞清楚，是选择加号还是减号的距离方程呢？看起来很蹊跷，有什么理由去考虑一个减号的勾股定理呢？不应该这样想。球面上的距离公式不就跟勾股定理不一样吗？毕竟我们有趣的想法是时空可能不像欧几里得空间那么平坦。因此，我们没有理由现在就抛弃减法的公式，因为减号版本是除加号版本之外的唯一选择。我们要保留它，并研究它的结果。通过研究，若加号和减号都无效，也就是都不能构建一个时空的距离量度，那么我们就不得不回到原点，重新开始了。
现在，我们开始新的推理，这非常优美，但会有点小难度。我们会坚守承诺，不使用比勾股定理更复杂的数学，但我们要求你多读一遍。这是值得的，连续读两遍之后，你会体会到一种爱奥尼亚式迷情[32]，生物学家爱德华·O.威尔逊（Edward O. Wilson）就曾描述过这种感觉。它源于泰利斯的工作，泰利斯生活在公元前6世纪爱奥尼亚的米利都，两个世纪后，亚里士多德认为他的工作奠定了基础物理科学。爱奥尼亚式迷情是个诗一样的术语，它表达这样一种信念，即世界的复杂性可以由少量简单的自然法则来解释，因为世界的核心是有序和简单的（我们想起了维格纳的文章）。科学家的工作就是剥离眼前的复杂性，揭示出潜在的简单规律。当这个过程完成，世界展现出统一，我们就能体验到爱奥尼亚式迷情。拿雪花为例吧，有那么一刻，一片雪花落在手上，你看到一个优美的结构，一个齿状晶体，一种对称。然而，一团混乱的雪中，没有两片雪花是一样的，似乎难以理解，无法解释。但科学家认识到，雪花在复杂的表面下，隐藏着美妙的简单性，那就是，如此多种类的雪花却是由一种分子——水分子（H2O）——构成的。寒冷的冬夜，在我们星球的大气层中，大量的水分子聚集，突然结合成一个结构和形态，势不可挡。每一片雪花拥有数十亿个水分子（H2O）。
想要确定加号或减号，需要回到因果关系。先假定勾股定理式的公式s2=(ct)2+x2正确表达了时空的距离。我们重温下之前的两个活动，即早上7点起床，早上8点在厨房吃完早餐。我们先做点让你难以忍受的事。这可能会把你带回高中的数学课，你正看着窗外的足球，春光明媚，绿意盎然，抵挡着它的诱惑。我们把起床的事件称为“O”，把吃完早餐的事件称为“A”，这样使推理更简洁，还能省去纸张篇幅。
前面已经讲述，经我们测量，O和A之间的空间距离是x=10米，时间距离是t=1小时。我们也曾假定，以接近光速飞过的人来测量，x和t是不同的，但时空距离将保持不变。换句话说，x和t将会改变，但是它们的改变不会引起s的变化。需要再次强调，我们的目标一直是采用时空中不变的量来建立物理定律，而距离s就是这样一个物理量。听起来还是太过抽象，让我们用朴实的生活语言再说一遍：大自然的规则表达真实事物之间的关系，这些事物生活在“时空”中。时空（或房间）是事物生存的舞台，生活在时空中的物体类似于坐在房间里的物体。事物的本质不像人的观点那样依赖于某个人，从这一点说，它具有不变性。在三维空间里举一个不变性的例子吧。火光照耀物体，产生一个摇晃不定的影子。显然，影子是变化的，它的形状由火的位置和燃烧情况决定。但我们从不怀疑在影子背后有一个真实的、不变的物体。我们计划在时空中找出真实物体之间的关系，把物理学从阴影中拯救出来。
如果两个观察者测量到不同x和t的值，若保持s相同，那么会有一个重要的结论，这个结论还可以用图形表示出来。图5显示了一个以事件O为中心的圆，圆的半径为s。目前，我们采用的距离公式是勾股定理式的公式，因此，圆周上的每个点距离O的距离都是s。因为，圆上的点到圆心的距离等于圆的半径，而圆外的点离O较远，而圆内的点离O较近。也就是说，事件A可以位于圆周上的任何一点，这样就可以与O保有s的时空距离，符合事件O和A时空距离为s的假定。此外，事件A究竟位于圆上的哪一点，取决于谁在测量x和t。对我来说，因为x=10米，t=1小时，我就知道它在图标中的位置，即标为A的点。对那个乘坐高速火箭飞过的人，虽然空间距离和时间距离发生了变化，但s具有不变性，这个事件仍然处在圆上的某个位置。因此，不同的观察者，在记录同一事件的空间和时间位置时，该位置只能在圆上标出。在图中，我们标出了两个可能的位置A'和A"。相对于A'，A"较为特殊，请仔细观察，A"在时间上与O有负距离，这表示，A"发生在O之前，是O过去的一个事件。也就是说，在你醒来之前，你就吃完了早餐。这个戏剧性的世界违反我们视若珍宝的因果关系。
另外，图4和图5是“时空图”，用来帮助我们理解事件的过程。它用起来简单易上手，图上，十字表示事件，事件在“space”（空间轴）上的投影线的长度表示事件与事件O的空间距离。同样，事件在“time”（时间轴）上的投影线长度表示事件与事件O的时间差。空间轴上方的区域为O的未来（因为对该区域的任何事件t都是正的），下方的区域则是O的过去（因为t是负的）。回到我们的问题，我们已经定义了事件O和A之间的时空距离s，这个定义允许A在O的未来或过去发生，究竟在未来还是过去发生取决于观测者的运动状态。也就是说因果关系与时空距离的形式密切相关，并且，勾股定理式的公式中这个带加号的定义不是好的选择，它不完全符合因果律。
我们面临失败，正如，英国生物学家托马斯·亨利·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）所说“科学的巨大悲剧——一个丑陋的事实扼杀了一个美丽的假设”。因其对进化论的有力辩护，赫胥黎被称为达尔文的斗牛犬。威廉·威尔伯福斯（William Wilberforce）曾挖苦他是不是因为自己的祖父或祖母才声称自己是猴子的子孙。他回答道，他不会因为自己的祖先是猴子而感到羞耻，相反他会为与一个利用自己的伟大天赋掩盖真相的人有联系而感到无地自容。我们的悲剧是，为了保持因果关系，必须放弃勾股定理的公式这个简单假设，转向更复杂的假设。
下面只能用s2=(ct)2-x2来计算时空距离了，只剩下这个假定可供选择。与加号版本不同，它给出一个欧几里得几何不适用的世界，就像地球表面这样的世界。基于这个公式给出的空间，数学家把它叫作“双曲空间”。物理学家不同，他们称它为“闵可夫斯基时空”。读者可能已经敏锐地感觉到，这次我们对了。现在，我们首先要确定闵可夫斯基时空是否违反因果关系。(www.xing528.com)
像欧几里得时空中的圆一样，在闵可夫斯基时空中，看一看距离O为常数s的时空线。你会发现减号起作用了。图6所显示的是事件O和距O为s的所有事件A所形成的线。重点是，事件A对应的点不再位于圆上，而是位于一条双曲线上，这条曲线对数学家来说太熟悉不过了。从数学上讲，曲线上的所有点都满足距离方程s2=(ct)2-x2。请注意，随着距离的变大，曲线趋向于与轴成45°角的虚线。与加号公式完全不同，对于火箭飞船上的观测者，事件A总是在事件O的未来，进入不了O的过去。也就是说，每个观察者都同意我们在吃完早餐之前醒来。闵可夫斯基时空没有违背因果关系。我们的疑虑打消了。
确定时空类型是本书的重点，让我们重温下这个过程。若在勾股定理中把加号变成减号，以此来定义两个事件O和A之间的时空距离，那么观察者怎么看这两个事件？事件A只是在一条双曲线上移动，永远不会进入事件O的过去。也就是说，只要观察者确定事件A在O的未来，那么所有其他观察者也会得出同样的结论。因为，双曲线从来没有穿过事件O的过去的区域，每个观测者都会看到吃早餐是在醒来之后发生的。
我们完成了一个精妙的推理。这绝对不是说明我们最初的假定是正确的，不是证明了有一个不变的时空距离，对此所有的观察者能达成一致。这一推论过程实际上表明了，我们的时空距离假定满足因果关系的要求，经受住了一次严苛的考验。然而，仅仅运用数学推理，并不能完成工作。作为物理学家，在构建描述世界如何运作的理论时，最终的成败由实验决定，是看理论能否产生与实验相符的预测。现在去做预测，为时尚早。我们还不知道这个标定速度c的值。如果不知道数值，怎么去计算呢？
请记住，我们需要c的数值，这样才有机会准确定义时空距离，我们还需要同样的单位来表示空间和时间，到目前为止，c代表什么，还不得而知。有什么速度与此相关吗？答案的关键就在闵可夫斯基时空中，我们刚刚构建了它，它里面有一个有趣的性质，就是那些45度角的线，非常重要。图7中，还画出了其他几条曲线，它们上面的点到O点的时空距离都相同，一共有4条这样的曲线。一个完全处于O的未来，一个处于它的过去，另外两个分别处在O的左边和右边。是否还记得，加号版本的勾股定理式公式给出一个圆，它因违反因果关系被抛弃了？而现在，这4条曲线构成的图形与这个圆相似，不免令人担忧，减号公式会和加号公式一样吗？是不是也要遭到放弃？不。有办法修复。图7显示一个事件B，它处在问题区域。不难看出，它在O的过去。然而，这个事件所在的双曲线横穿空间轴，这表明一些观察者会认为B事件发生在O的未来，而另一些观察者认为B事件发生在O的过去。别忘了，虽然观察者看到的时间距离和空间距离不相同，但他们每一个必须看到一样的时空距离。因此，好像是因果关系崩溃了，情况绝非如此。
在我们的时空理论中，如何恢复因果关系呢？再仔细地思考一下什么是因果关系吧。接下来的部分将涉及火箭飞船和激光，如果前面的推理让你筋疲力尽，你可以因此放松一下。再想想事件O，它对应早上从床上醒来，或者，更准确点，对应我的闹钟闹铃响起。在这之前不久，半人马座阿尔法星系的一颗行星上，有一艘宇宙飞船已经升空，正朝向地球飞去。半人马座阿尔法星系距离地球只有4光年多，是距离地球最近的恒星系统。在我醒来之前，宇宙飞船就开始了它的旅程，每个观察者都同意这一点吗？从飞船开动和我起床有无因果关系来看，这个问题取决于信息是否可以无限快地传播。如果信息可以无限快地传播，外星宇宙飞船只要发射一束激光，便可瞬间射向地球，摧毁我的闹钟。结果是我睡过了头，错过了早餐。考虑到现在的处境，错过一顿早餐没什么可担忧的，毕竟在做一个思想实验，让我们忽略这点不快，不就是闹钟被外星人摧毁，我们急需解决手头上的事。宇宙飞船发射的激光使我错过了早餐，因此，在不违反因果关系的原则下，飞船开动和我起床不能交换顺序。是啊，如果有观测者能够得出结论，宇宙飞船是在我醒来后起飞的，那我在它起飞前就醒来了，也就不会因为激光睡过头。因此，不得不得出这样的结论：如果信息可以无限快地传播，为保证因果律，任何两个事件的时间顺序就永远不可颠倒。然而，这就暴露了我们之前推论的漏洞，它允许某些事件的时间顺序翻转，只要它们位于45°线之外。看来这些线很重要。
让我们再想一遍外星人、激光和闹钟的事情，但这次它们受到宇宙上限速度的限制，也就是说，激光不再以无限快速度从宇宙飞船传到闹钟。为了节省笔墨，把激光发射的事件称为事件B，如图7所示。如果在闹钟响之前，宇宙飞船远远地发射了激光（事件B），那么它不可能阻止我醒来，因为激光束没有足够的时间从飞船抵达时钟，只要激光束的速度等于或小于宇宙上限速度。这种情况，事件O和事件B就不再有因果关系。
如图7所示，假设我们看到B发生在O之前，也就是B位于右边的楔形区域，因果关系的“危险”区域，对不同的观察者，B发生在O之前还是之后呢？他们会得出不同的结论。因为双曲线穿过空间轴跨越过去和未来，他们的观点取决于双曲线上B的位置。尽管如此，因果关系仍然可以得到保护，只要事件B绝对不可能影响事件O。也就是说，如果B和O不能相互影响，无论B发生在O的过去或未来，对任何事情都没有影响，谁还会在意它们发生的顺序呢？进一步讲，在闵可夫斯基时空中，45°线隔开了4个不同区域，如果我们要保留因果关系，只要保证任何发生在左侧或右侧楔块中的事件发射的信号达不到O。
为了解释轮廓线，再看看时空图。时空图中，横轴表示空间距离，纵轴表示时间距离，因此，45°线上的事件到事件O的空间距离等于时间距离（ct）。如果要影响正好位于45°线上的事件，信号必须以多快的速度从O开始传播？如果事件在O未来的1秒后发生，那么信号必须传播c×1秒的距离，如果它发生在未来2秒后，那么信号必须经过c×2秒的距离。因此，信号必须以c的速度传播。然而，对于在B和O之间传播的信号，它的传播速度必须是快于c的速度。相反，对于位于45°线之间但在上下楔块中的任何事件，在它们和O的事件之间进行通信时，可以使用传播速度慢于c的信号。
终于，我们解释了速度c，它就是宇宙上限速度。没有什么能比它快，否则，信号传输过程就会违反因果规律。此外，对不同观察者，不管他们的运动状态，只要他们能对事件间的时空距离达成一致，那么他们也必须就c是宇宙上限速度达成一致。速度c还有另一个有趣的特性。无论不同的观察者如何移动，速度c的测量值必须相同。还记得本书的另一个特殊速度吗？光速！看起来，速度c很像光速。但我们还没有证明这种联系。
我们的推理栩栩如生。我们成功地建立了一个时空理论，看起来能够重现上一章中遇到的物理现象。宇宙上限速度的存在更是带来了希望，特别是我们可以把它解释为光速。我们还构造了时空，在里面，时间和空间不再是绝对的，我们放弃了时间和空间，取而代之的是时空的概念。为了确信我们构造的理论可以描述世界，让我们看看，我们能否应用它重现第三章动钟变慢的现象。
让我们回到熟悉的火车上，想象下，你坐在车窗边，戴着手表，这样用它测量相对于座位的距离和时间，就方便多了。假使火车花了2个小时从一个车站行驶到下一个车站，整个过程中，你从未离开过座位，那么你移动的距离x=0。因为，就像本书一开始就确定的原则，不可能定义谁在移动，谁在静止不动。所以，相对于火车，你移动的距离为0，就不难接受了。那么，对你来说，随着火车运行2小时，只有时间流逝，你仅仅在踏着时间的步伐旅行。在时空中，很容易确定你的旅行时空距离是s=ct，其中t=2小时（因为你测量的空间距离是x=0）。若你的朋友不在火车上，而是坐在某个地方（其实他在哪里并不重要，只要当火车呼啸而过时，他相对于地球静止就好了），他看着自己的手表测量时间和火车相对于他的距离。为了简化问题，我们假定火车在笔直轨道上以v=100英里/小时的速度行驶了2个小时。在旅途结束时，在你的朋友看来，你走了X=vT的距离。对你朋友测量的距离和时间，我们用英文大写字母X表示，以便区别你测量的距离和时间（即x=0和t=2小时）。所以，相对于朋友，你旅行的时空距离是s2=(cT)2-(vT)2。
关键时刻到了，你必须和朋友就时空距离达成一致。根据你的观测，你没有移动（x=0），旅程用了2小时（t=2小时），而对你的朋友来说，你走了vT（v=100英里/小时）的距离，旅程用时为T。两个时空距离必须相等，即(ct)2=(cT)2-(vT)2。对公式稍做变换，就可以得到
。这说明，这段旅程，在你看来用了2个小时，可在你的朋友看来却延长了一点时间。时间延长的因子是
。从这个公式看，只要把c看成光速，我们就得到了和上一章一样的结论。
爱奥尼亚式迷情，开始感觉到了吗？在上一章中，我们思考了光钟和三角形，从中推导出同样的公式。我们思考光钟是受到光速不变的启发，麦克斯韦出色地综合了法拉第及其同事的实验结果，他的归纳表明了这一点，即对于所有观察者，光速都是相同的。随后，这一点又在迈克尔逊和莫利的实验中得到支持。很明显，它也得到了爱因斯坦的重视。在这一章中，我们得出了完全相同的结论。在我们的方法中，光不具有特殊的角色，也没有提起历史或实验。相反，我们引入了时空的概念，并坚持事件之间存在不变时空距离的假定。接着，遵守因果关系，通过构建距离度量公式，最终得到了结论，这一结论与爱因斯坦的结论完全相同。在物理学中，数学具有神秘的有效性，这个推理可能提供了最好的例证。泰勒斯如此着迷，太监已经擦洗过驴奶浴盆，他已满怀期待地躺了进去。为了成就这场爱奥尼亚式迷情，还需要把美酒和无花果送进他的浴室，还需要抛开上一章的内容，找一个全新的角度确定c一定是光速。请泰勒斯稍作镇定，有关爱因斯坦理论的全新思考就要到来，迷醉的时刻将在下一章呈现，我们此时也可以从烦琐的数学中抽身，稍作休息。精彩就要到来，因为，正如闵可夫斯基所说，时空真的起作用了，它统一时间和空间，意义重大。
如何想象时空呢？它是四维的，给我们的想象力带来了障碍，想象超出三维的东西，大脑束手无策。另外，时间是一个时空的维度，听起来也很古怪。摩托车在乡间起伏的画面，可以帮助我们。时空就像起伏的乡村，道路纵横交错，摩托车手驾着车来回徘徊。在时空中，一个物体沿时间方向移动，我们把它类比为摩托车手向北行驶。仅沿时间方向移动，对应着在空间中是静止的，但“空间静止”是主观感觉。把“时间方向”类比为“正北”也是权宜之计，记住这一点。在时空中，道路纵横交错，却都被限制在北纬45°的方位角内；正东和正西的道路被禁止，因为要想沿着它们行驶，时空中的“摩托车手”必须跨过宇宙上限速度。这样想吧。如果摩托车手可以向正东行驶，那么他想走多远就走多远，根本不受任何时间限制，因为他没有在向北的时间方向行驶任何距离。这相当于以无限的速度穿越空间，瞬间从a到达b。因此，时空道路拥有限制，它限制摩托车手快速向东或向西行驶。
进一步做类比，就能展示一幅时空中运动的图像，其中任何物体的时空速度都相同。假如摩托车手有一个特殊的装置，它可以固定油门，以至于，摩托车总是以同样的速度在时空中运动。请注意，我们所说的时空速度和行走在空间中的速度是不一样的，行走在空间中的速度可以取任何值，只要它不超过宇宙上限速度。例如，摩托车手选了一条靠近东北方向的路，这样他的速度就会更接近宇宙上限速度。相比之下，向正北方向的道路行进，不会产生向东或向西的距离，这条道路的速度也在极限速度内。然而，万物以相同的速度穿越时空听起来相当深奥，也容易产生困惑。也就是说，即便当你坐着读这本书时，你其实是和其他物体一样，在时空中呼啸而过。从这个角度看，空间中的运动只是某个时空运动的影子。我们下面说明，在某种意义上，你就是那个车手，开着固定油门的摩托车。你坐着不动，读这本书，其实就等同于固定油门沿着时间的方向，在时空中向北移动。看一下表，就会看到时间流逝的距离。听起来，这个类比有点奇怪，我们需要仔细研究下。
物体以相同的速度在时空中穿行，这是为什么呢？再次以摩托车手为例，假如他手腕上的手表运行了1s，那么他就运行了一段时空距离。就这段距离有多长，每个人必须达成一致，因为时空距离是普遍的，容不得争论。因此，只要询问摩托车手，他走了多远的时空，便可以得到正确答案。摩托车手可以相对于自己确定空间距离，也就是说，他没有产生空间距离，就像第一章中，坐在飞机座位上的人，相对于飞机，他没有移动。虽然相对于地面上看飞机的人，他移动了，但这不是我们讨论的重点。对摩托车手，他没有产生空间距离，只是时间上流逝了1秒。因此，对他来说，采用时空距离计算公式s2=(ct)2-x2来计算他在时空中走了多远。因为，x=0（因为他没有空间移动）和t=1秒，所以时空距离等于c乘以1秒。摩托车手告诉我们，他的表上每走一秒，他就要行驶一段长为c的时空距离（乘以1秒）。这是他的时空速度等于c的另一种说法。你可能会反对说，1秒的时间是在摩托车手的手表上测量的，对于其他人，那些相对于摩托车手运动的人，测量的时间会不一样。这是真的。但由于摩托车手相对于自己没有运动（一个微不足道的声明），在距离方程中x=0，他的手表就非常特别，它上面流逝的时间是测量时空距离s的直接方法。因此，我们得到一个很棒的结论，摩托车手手表上流逝的时间等于所行驶的时空距离除以c。他的表是测量时空距离的装置。时空距离和c对所有观测者都相同，所以摩托车手用手表测量的物理量，对所有的观察者都适用。所以，他得出的时空速度c，所有观察者也都能够认同。
时空速度是一个普遍适用的量，对每个观察者都一样。这是一种新发现，一个思考事物在时空中运动的新方法，它可以帮助我们理解动钟变慢，并给这个问题一个新的思考方式。按照这种方法，时钟的时空速度是固定的，移动的时钟，因空间中的运动消耗掉了一部分时空速度，留给时间的部分就变少了。也就是说，它不能再像静止的时钟那样快地运行了，这是时钟运行变慢的另一种说法。相反，一个静止的时钟，在空间上没有运动，将会以c的速度在时间方向上飞驰而过。静止的时钟将尽可能快地运行。
有了时空概念的帮忙，我们便做好了准备，来思考狭义相对论的一个精彩谜案：双胞胎悖论。在本书的一开始，我们讲到爱因斯坦的理论打开了星际旅行的大门，它使我们能够思考星际旅行的可行性。加速到临近光速的速度，人类在有生之年可以抵达仙女座星系，尽管光需要将近300万年的时间才能抵达那里。这里掩藏了一个悖论。假设有一对双胞胎，一个是训练有素的宇航员姐姐，她开始了人类第一次驶向仙女座的任务，另一个是留在地球上的妹妹。宇航员姐姐相对于地球高速移动，因此，相对地球上的妹妹来说，姐姐的生命进程减慢。然而，本书中我们花了很大力气论证绝对运动是不存在的。这意味着，当别人问你“谁在运动”，你可以回答“你想谁就是谁”。任何人都可以决定自己是站着不动的，是另外一个人相对于自己在宇宙中呼啸而过。对宇航员姐姐也是这样，她可以毫不顾忌地说，她站在自己的太空火箭里，是静止的，是地球高速飞走。因此，相对于姐姐来说地球上的妹妹衰老得更慢。谁是对的呢？对于这对双胞胎，对方都会比自己老得慢，可能吗？嗯，理论告诉我们必须是这样。现在悖论还没有出现。双胞胎中的一个观察到另一个衰老得慢，只会导致一些信仰的问题。它们是由于你太执着于普遍的时间观念导致的。但是时间不是普遍的，我们已经学到了，所以也根本没有矛盾。如果宇航员姐姐在未来的某一时刻返回到地球，悖论就出现了。当她与地球上的妹妹相遇，会发生什么？显然，她们都比另一个年轻，是不可能的。怎么回事？其中一个真的比另一个老吗？如果是，那么是谁呢？
答案就在我们对时空的理解中。图8展示了双胞胎在时空中的路径，是用相对于地球静止的时钟和尺子测量的。妹妹留在地球上，她的路径沿着时间轴蜿蜒而行。也就是说，她的时空速度都花在了穿越时间上。另外，宇航员姐姐以接近光速的速度飞去。根据骑摩托车的比喻，她向“东北”方向出发，用尽可能多的时空速度，以接近宇宙上限速度穿越太空。如图8所示，在时空图上，姐姐朝接近45°方向运动。然而，在某个时刻，她转身驶向了地球。如图中显示，她再次以接近光速返回，但这次是朝着“西北”方向运动。显然，这对双胞胎在时空中在同一点开始和结束，但走的是不同的路径。
像空间中的道路一样，时空中两条路径的长度也可能不一样。强调一下，尽管所有观察者都必须就时空中任何特定路径的长度达成一致，但不同路径的长度可以不相同。打个比方，从夏蒙尼[33]到库马约，可以穿越勃朗峰隧道到达，还可以徒步翻过阿尔卑斯山，但两条路的长度不一样。穿过山脉要比穿过隧道走更长的路。在摩托车手时空之旅的例子中，我们已确定，摩托车手手表上的时间提供了一种方法，来直接测量他所行驶的时空路径的长度。只需要将流逝的时间乘以c即可得到时空路径的长度。反过来讲，一旦我们知道了这一对双胞胎所走过的时空距离，就可以计算出双胞胎各自度过的时间。也就是说，我们把这对双胞胎都看成了穿越时空的旅行者，各自手表测量的时间对应着行走的时空距离。
重点来了。再看看时空距离的公式s2=(ct)2-x2,你会发现，若沿着x=0的路径走，时空距离是最大的，任何其他路径都比它短。因为必须减去（总是正的）x2的贡献。因此，地球上的妹妹沿着时间轴蜿蜒前行，x接近于0，所以她的时空路径是最长的路径。实际上，这里我们已经得出了另一种表述：地球上的妹妹在时间中以尽可能快的时空速度旅行，所以她年龄更大。
讨论到现在，我们的解释都是相对于地球上的妹妹做出的。为了彻底打消疑虑，确信没有悖论发生，我们从宇航员姐姐角度看待这一切。对姐姐来说，地球上的妹妹是一个星际旅行者，而她沿自己的时间轴蜿蜒前行。似乎悖论又回来了。既然宇航员姐姐相对于她的飞船是静止的，那么她似乎应该以最大的时空速度通过时间，因此姐姐年龄更大。然而，这里有一个微妙的环节。当我们使用宇航员姐姐的时钟和尺子来测量距离和时间时，距离方程就不适用了。更准确地说，当宇航员姐姐调转宇宙飞船加速时，距离方程就失效了。为什么会失效呢？我们的推理过程不是滴水不漏吗？但是，像宇航员姐姐那样，在一个加速系统中，当使用时钟和标尺进行测量时，时空不变的假设和用来计算时空距离方程的假设都是错误的。就像开汽车时，猛踩油门踏板，你被推回座位一样，在飞船加速时，宇航员姐姐也会被推回她的座位上。时空中又有了一个特殊方向，加速度方向。时空距离公式必须考虑到这种力的存在，这是之前公式里存在的漏洞。考虑加速力的时空距离公式太复杂了，我们无法深入探讨它的细枝末节。但是结论很明确，当宇宙飞船掉头时，对宇航员姐姐来说，地球上的妹妹会迅速变老，增加的年岁弥补了妹妹在非加速阶段减缓的年岁。因此，不存在悖论。
不妨引用一些数字，算下加速过程导致的影响，结果将令你大吃一惊。如果发射的火箭维持“1g”的加速度，这样飞船上的人感觉最舒适，他们能在飞船里感受到自己的重量。现在想象这样一段旅程，飞船以“1g”的加速度加速10年，然后，以同样的速度再减速10年，接着调头返回，再以“1g”的加速度加速10年，然后减速10年到达地球。这段路程，太空船上的旅客总共花费了40年，地球上过去了多少年呢？因为数学（只有一点点）超出了这本书的水平，我们只给出结果，结果是59000年，一个惊人的59000年将在地球上飞逝！
阅读本书是一个非凡的旅程，我们希望读者已经进入了时空的世界。我们马上要前往E=mc2。借助时空的概念和时空距离不变性的定义，我们提出了一个简单但非常重要的问题：现实世界里，还有其他不变量也能描述真实物体的特性吗？当然，时空距离并不是唯一重要的东西。物体有质量，物体还可以是硬的或软的，热的或冷的，固体，液体或气体。物体存在于时空中，有没有可能通过不变性描述世上的一切？这条道路直通E=mc2，并产生深远的影响。在下一章你就可以发现。
[25]可以理解为潮汐通过引力作用于月球使其加速。
[26]罗塞塔石碑，刻有古埃及国王托勒密五世登基的诏书，石碑上用希腊文字、古埃及文字和当时的通俗体文字刻了同样的内容。
[27]诺查丹玛斯（1503年12月14日—1566年7月2日），法国籍犹太裔预言家。
[28]把地球看作一个球体，通过地面上任意两点和地心做一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆。两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离。沿着这一段大圆弧线航行时的航线称为大圆航线。
[29]道格拉斯·亚当斯，英国广播剧作家、音乐家，以“银河系漫游指南”系列作品出名。
[30]又称参照系，为确定物体位置而选定的参照物。
[31]在表述自己的原理时，奥卡姆所用的句子非常拗口。
[32]指一种相信科学具有统一性的信仰。
[33]夏蒙尼在法国阿尔卑斯山附近。这个高山山谷小镇是夏蒙尼勃朗峰的正式通道，是通往著名的勃朗峰（Mont Blanc）及其周边地区的门户。
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