图形学基础分数维图形

维数是人们熟悉的几何学基本概念，如零维的点、一维的直线、二维的平面、三维的空间。但在自然界和工程中却有许多现象难于用传统的概念作出回答。如雪花、彩云、花朵、大气湍流、粉粒形状、粗糙表面的表面粗糙度等，对这些现象最多只能加以定性描述。分数维图形则将给出定量分析，用分维加以表示。分维图形可以表征广泛存在于自然界的一个大类无序、复杂、奇异的客体。因为从分维的角度看空间是连续的，也就是空间维数不是从0到1、从1到2、从2到3跳跃式地变化，而是可以连续地变化，即可以是整数，也可以是分数，通过具体计算所确定的维数称为豪斯道夫维数，记为D_f。

取一个边长为单位长的正方形，若每边放大2倍，则正方形面积放大4倍，其数学表达式为2²=4，这是2维图形。对于3维图形，取一个棱长为单位长度的立方体，若每条棱边的长度放大2倍，则立方体体积放大8倍，其数学表达式为2³=8。依此，对于一个D_f维的几何对象，若每个棱边长度都放大L倍，则这个几何对象相应地放大K倍，归纳上述结果，D_f、L和K三者的关系为

L^Df=K （11-1）

取对数则有

式（11-2）中D_f不必是整数，对具有奇异构形的分形结构，体系的维数一般为分数，只有个别情形是整数。上面是从放大几何对象来考虑分数维的，也可以从缩小几何对象定义分数维。如图11-3所示，假定有单位正方形，把它等分为4个小正方形，每个小正方形相对原来的单位正方形每边缩小为原来的，然而4个小正方总的面积仍为原单位正方形的面积，既有，取对数就成为，这里2正是该几何图形的维数。

现在，把一个D_f维的几何对象等分成N个小的几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的r，而N个小图形的综合应为Nr^Df=1，所以分维数为

图11-3 分数维定义

图11-3所示为等分后的单位图形数，直线为2，正方形为4，立方体为8，则N和r的关系为直线

正方形

立方体 (www.xing528.com)

如图11-4所示，Koch曲线的构造方法是把一直线三等分，去掉中间一段，并补进两条直线长度的线段，经无限重复而得的自相似图形。按上述分析可知，这时单位长度，单位图形N=4，故有

所以

这种Koch曲线的构造是有规则的，它具有严格的自相似形，Koch曲线处处连续，但处处不可微，它是一个分维图形。构造Koch雪花与折线的构造相似，以一个三角形为源多边形，即初始元，如图11-5a所示，将三角形的每一边三等分，舍去中间的，然后按生成规则产生初始元。图11-5b、c所示是Koch雪花的形成过程。

图11-4 Koch曲线的构造方法

图11-5 Koch雪花的形成过程

从源多边形（三角形）开始，第一步形成六角星形，第二步是将六角星的12条直线边按Koch曲线生成规则进行同样的操作，依次类推，直至无穷，在极限情况下，折线成为曲线，组成曲线的各个折线趋于无穷小，所以它虽是处处连续的，但处处无切线，不可微。因为雪花的构造过程每一步演变都使折线的长度增加，所以在极限情况下Koch雪花的轮廓线总长度趋于无穷。可是，它是一条闭合曲线，因此雪花面积有一个确定的值，通过简单的计算，有

这里n=0相当于图形演变过程的第一步，n=1为第二步，以此类推。