计算机实验工程图形学.下册：CAD图解空间任意力系

时间：2023-11-01 理论教育版权反馈

【摘要】：通过力的平移可使空间任意力系由汇交力系和力偶系两部分组成。下面同样以一实例对图解空间任意力系展开讨论。具体为M1=F1×77.26mm/1000=54.028N·mM2=F2×17.68mm/1000=17.68N·mM3=F3×136.6mm/1000=163.92N·m图8-21 汇交力系图解图8-22 力偶系图解例8-7 如图8-23所示，在点A和B受到支承的矩形板，同时用一根绳索CD拉着。试图解使绳索内张力最小的点G的位置及对应张力的最小值。2）将A、D连线作为一条轴线，以便图解重力W、拉力T对此轴线的矩。

通过力的平移可使空间任意力系由汇交力系和力偶系两部分组成。因此，其图解过程包含图解汇交力系和图解力偶系两个部分。下面同样以一实例对图解空间任意力系展开讨论。

例8-6 如图8-19所示，三根绳索缚于支座的B、C、D点上。将绳索的力用点A的等效力偶系代替。

图8-19 支座受力直观图

图8-20 支座受力投影图

1.图示

如图8-20所示，根据支座受力的直观图上的尺寸绘制出A、B、C、D四个点的投影，并以1∶10的比例画出过B、C、D三个点的绳索拉力F₁、F₂、F₃的投影。其中，F₂处于水平位置，其水平投影反映该力的实际大小，F₃处于正平位置，其正面投影反映该力的实际大小，而F₁处于一般位置，因此用构造直角三角形求实长的方法先求出BE线实长，将F₁度量到实长线上，再确定F₁的投影。

2.图解

（1）汇交力系部分的图解步骤如图8-21所示。

1）将F₁、F₂、F₃三个力的起始点B、C、D平移到A点，三个力也随之一起平移，应用Au_- toCAD的捕捉功能可以精确地实现这一平移。

2）用平行四边形法则将F₂、F₃合成为F₂₃，再将F₂₃与F₁合成为F。

3）用尺寸标注功能，设定好精度要求，标注出F的大小，根据作图比例可知合力大小为174.16N×10=1741.6N。

（2）力偶系部分的图解步骤如图8-22所示。

1）求A点到F₁、F₂、F₃各力作用线的距离。其中，F₂的作用线为水平线，在水平投影面上过a作f₂的垂线即可得到A点到F₂之间的距离，图中用对齐方式直接标注出尺寸17.68mm，省略了作垂线的过程。同理，F₃的作用线为正平线，在正投影面上过a′作f₃′的垂线即可得到A点到F₃之间的距离，图中用对齐方式直接标注出尺寸136.6mm，也省略了作垂线的过程。而F₁的作用线是一般位置直线，图中用旋转法将其旋转成正平线，A点也随之旋转，然后在正投影面上标出尺寸77.26mm，即为A点到F₁作用线的距离。

2）求各附加力偶的大小。将各力的大小乘以其平移到A点的距离即可得到各附加力偶的力矩大小。具体为

M₁=F₁×77.26mm/1000=54.028N·m

M₂=F₂×17.68mm/1000=17.68N·m

M₃=F₃×136.6mm/1000=163.92N·m

图8-21 汇交力系图解

图8-22 力偶系图解

例8-7 如图8-23所示，在点A和B受到支承的矩形板，同时用一根绳索CD拉着。已知绳索的张力为200N，确定绳索作用于C的力对点A的力矩。

要求绳索作用于C的力对点A的力矩，关键是要求出A点到力作用线的距离L，有了距离L，只需将力乘以距离就可以得到力矩。因此图解的步骤如下：

1）如图8-24所示，根据图中所注尺寸确定A、B、C、D四个点的投影，以及CD线的投影（画图比例为1∶10）。

2）用换面法将力作用线CD变换为铅垂线，A点也随之一起变换。

3）在新投影面上标注A点到CA线的距离为20.6397mm。

4）计算已知力与距离的乘积得到力矩为

M=（20.6397×10×200/1000）N·m=41.2794N·m

图8-23 例8-7的图形条件

图8-24 力矩的图解

例8-8 如图8-25所示，一个半径r=240mm、质量为30kg的均质管道顶盖，通过绳索CD保持水平位置。假设位于点B的支承不提供任何径向推力，计算绳索的张力和点A、点B的约束力。

解画出受力投影图，如图8-26a所示。依次图解绳索的张力，以及A点、B点的约束力。

（1）图解绳索张力因为A、B两点的约束力所在的AB杆为侧垂线，其侧面投影积聚为一个点a″（b″），所以A、B两点的约束力的侧面投影也过a″（b）″，将各力的侧面投影当作一个平面任意力系，各力的投影对a″（b）″取矩，其中t″对a″（b）″的矩的力臂长可在图8-26b中直接量取，f″对a″（b）″的矩的力臂长为已知，而其余力的侧面投影均过a″（b）″，不产生矩，因此有240×f″=214.66×t″，f″=30×9.81N=294N，由此解出t″=328.71N。在侧投影面上利用直角三角形法求出绳索张力T的实长，再从t″的端点引线与所作三角形的另一直角边的平行线，该线与实长线相交，即可量取T的实际大小为T=343N，如图8-26b所示。

图8-25 例8-8的图形条件

（2）图解A、B两点的约束力画出正面投影图，如图8-26c所示，将各力的正面投影当作一个平面任意力系，各力的投影对a′取矩，其中t′对a′的矩的力臂长可在图8-26c中直接量取，f′、b_z′对a′的矩的力臂长为已知，而其余力的正面投影均过a′，不产生矩，因此有t′×199.8-f′×240+b′×480=0，由此解出b′_z=73.5N。由图8-26c可知a′_x=98N，a′_z=f′-b′_z-146.81N=73.5N。

画出水平投影图，如图8-26d所示，将各力的水平投影当作一个平面任意力系，各力的投影对a取矩，其中t对a的矩的力臂长可在图8-26d中直接量取，t的长由直角三角形法求出，为已知，因此有t×379.47-b_y×480=0，由此解出b_y=245N。由图8-26b可知a_y+b_y=294N，由此可得a_y=294N-b_y=49N。根据所求得的A、B各点处的约束力的分量可求出该两点处的约束力的大小和方向，如图8-26e所示，有N_A=131.94N，N_B=255.79N。

图8-26 例8-8图解

例8-9 弯成图8-27所示形状的一段刚性管子ABCD，在转角C处悬挂质量为200kg的载荷。管子由点A和点D处的球形铰链支承，球形铰链分别紧固在地板和垂直墙面上，管子还用连接管子BC段中点E和墙上一点G的绳索拉着。试图解使绳索内张力最小的点G的位置及对应张力的最小值。

1）根据图8-27所示的尺寸，画出AB、BC、CD各杆及E点和重力W的投影图，如图8-28a所示，画图比例为1∶10。

2）将A、D连线作为一条轴线，以便图解重力W、拉力T对此轴线的矩。而A、D两点的约束力因过此轴而不产生对此轴的矩。

3）二次投影变换将AD轴线变换为投影面的垂直线（铅垂线）重力W和点E也随之变换，并在图中标注出重力W的投影长为w₂=146.24N，E点的投影e₂，AD线积聚性投影a₂d₂与e₂之间的距离200mm及a₂d₂到w₂（重力W的投影）的距离178.89mm，如图8-28b所示。

4）在H₂投影面上应有关系t₂×200mm=146.24N×178.89mm，由此求出根据作图比例1∶10，可得T=130.8N×10=1308N。其方向如图8-28c所示。

图8-27 例8-9图

图8-28 图解过程（注：为使图形简捷起见，图中未标注的投影轴的符号参见图8-28b）

图8-28 图解过程（注：为使图形简捷起见，图中未标注的投影轴的符号参见图8-28b）（续）

5）图解G点位置。因G点在V面上，在H₂投影面上，延长e₂t₂与x₂轴交于f₂点，由f₂点求出F点在V₁面上的投影f₁′，f₁′应为过f₂点垂直于x₂轴的投影联系线与过e₁′点的x₂轴平行线的交点（在V₁/H₂体系中，因为在H₂投影面上e₂f₂⊥e₂a₂，根据直角投影定理，应有e₁′f₁′//x₂轴），由f₁′引线垂直于x₁轴得到f₁、（f），将f、e两点用直线相连并延长与x轴交于g，由g在V₁面上求得g₁′，根据V面与V₁面z坐标相等的关系可求出g′。由此可量取G点的x、y、z坐标为x=0，y=0，z=5m。

上面所选用的实例具有代表性，用AutoCAD作为工具，作图精确性好，直接将力的大小标注在图上比较直观显见。另外，图解过程也有助于图解训练和实现画法几何的应用价值。为了充分体现图解法的优越性，下面列出例8-5～例8-9的矢量法求解过程，以便更加理解基于Auto-CAD的图解工程静力学问题是一种值得推广的实用方法。

例8-5的矢量法求解过程如下：

图8-29所示为例8-5中所描述的箱子的受力图，以A点为研究对象，有四个力的作用，其中有三个力的大小未知，引入单位矢量i、j、k，将每个力分解为三个分量。

对于重力

G=-mgj=-1597.4j

对于力T_AD、T_AB和T_AC，首先要确定矢量、和A的大小和分量。