两共轭曲面接触线计算

时间：2023-11-01 理论教育版权反馈

【摘要】：两共轭曲面在运动过程中始终沿一条空间曲线相切，这条曲线称为共轭曲面的接触线，如图4-63中的曲线J。2）两共轭曲面在接触点处必定相切，并在接触点上对两曲面具有公共的法线或切平面。3）为使两共轭曲面连续运动，在接触点处两曲面的相对运动速度必垂直该点处两曲面的公法线。这一概念可以作为确定共轭曲面接触线的依据。3）按上述作图求出O2O2轴线在圆锥面上的投影即得两共轭曲面的接触线。

两共轭曲面接触线计算

1.两共轭曲面的概念

共轭曲面是指有一定运动关系的一对相互接触的曲面，如图4-63所示，一对曲面∑₁、∑₂各自绕轴线O₁O₁、O₂O₂连续旋转，并始终保持相互接触，这对曲面就称为共轭曲面。两共轭曲面在运动过程中始终沿一条空间曲线相切，这条曲线称为共轭曲面的接触线，如图4-63中的曲线J。接触线具有以下性质：

1）接触线上的点均为两共轭曲面的共有点。

2）两共轭曲面在接触点处必定相切，并在接触点上对两曲面具有公共的法线或切平面。

3）为使两共轭曲面连续运动，在接触点处两曲面的相对运动速度必垂直该点处两曲面的公法线。

由图4-63可知，如果将接触线分别绕各自的轴旋转，即形成原来的两共轭曲面，因此为求出共轭曲面的形状，可先作出其接触线，然后绕给定轴回转形成。根据共轭曲面接触线的概念可知，接触线上各点对两曲面来说具有公共法线。图4-64中曲线J₀为两共轭曲面∑₁、∑₂的接触线，可以证明，当其中一个曲面为回转曲面时（例如∑₂）组成它们接触线的点，其法线必与回转曲面∑₂的轴线O₂O₂相交。证明略。

这一概念可以作为确定共轭曲面接触线的依据。但是用图解方法确定共轭曲面接触线时，往往不能直接运用这一概念，因为无法确定∑₁上哪些点的法线和所求回转曲面∑₂的轴相交。为此，需要从回转曲面∑₂的轴线O₂O₂上的各点向曲面∑₁作法线来求得接触线。当两共轭曲面∑₁、∑₂中有一个是回转曲面时，它们的接触线是回转曲面∑₂的轴线O₂O₂在∑₁曲面上的投影。下面讨论当已知表面为某一曲面时，求与之共轭的曲面形状的作图方法及接触线和共轭曲面方程的建立。

2.共轭曲面的作图方法及接触线和共轭曲面方程的建立

在图4-65中，已知表面为圆柱面∑₁，其轴线为O₁O₁，半径为R，与其共轭的曲面∑₂的轴线为O₂O₂，O₂O₂与X轴的夹角为α，与O₁O₁轴间的公法线距离为L。根据这些已知条件，两共轭曲面接触线的作法如下：

1）根据已知条件作出两轴线O₁O₁、O₂O₂，为使下面的作图方便将O₁O₁轴置于铅垂位置，O₂O₂轴处于正平位置，此时正面投影面反映两轴线的夹角α。

图4-63 共轭曲面的接触线

图4-64 接触线的形成

2）在O₂O₂轴上取一点如图中I₀点。

3）连接I₀点和O₁O₁轴线的水平投影得i₀o₁，该直线与圆柱水平投影相交于i，i即为接触点I的水平投影。

4）由于圆柱面上各点法线均与圆柱面轴线相垂直，故法线I₀I为水平线，由此可得出I点的正面投影i′。

5）在O₂O₂轴线上取一系列点，按上述作图可得O₂O₂轴线在圆柱面上的投影。该投影代表了一条空间曲线，即圆柱面与轴线为O₂O₂的旋转曲面的接触线。

6）为求出轴线为O₂O₂的旋转曲面的投影轮廓，变换H面使H₁面垂直于O₂O₂轴，然后将I点绕O₂O2转到I_p（i_p1，i_p′），I_p点即为以O₂O₂为轴线的旋转曲面投影轮廓线上的点。

图4-65 圆柱面接触线的求作

7）在接触线上取一系列点，按步骤6）中的作图方法可得这些点旋转后的新位置，然后用曲线将它们光滑地相连即得轴线为O₂O₂的旋转曲面的正面投影轮廓线。

8）在正面投影中，将i′、i_p′两点相连得直线i′i_p′，i′i_p′与O₂′O₂′轴线交于i₂′，i₂′是I点绕O₂O₂轴旋转到最前位置时的正面投影，由i₂′不难求得i₂，i₂即为轴线是O₂O₂轴的旋转曲面水平投影轮廓线上的点。

9）按步骤8）可求得轴线为O₂O₂的旋转曲面的水平投影轮廓线。

根据上述作图过程，可建立接触线与共轭曲面的方程。由图4-65知O₂′O₂′方程为

z=（tanα）x

I₀点坐标为

I点坐标为

当考虑式（4-113）中参数u的变化范围时，即可得接触线的方程

式（4-114）即为两共轭曲面的接触线方程。一次投影变换后，i₁点在O₁x₁y₁坐标系中的坐标为

I₁点绕O₂O₂轴旋转到i_p1位置后，其正面投影i_p′点的坐标为

i′i_p′与O₂O₂交点i₂′的坐标由

确定得

当考虑参数u的变化范围时，可得共轭曲面的正面及水平面投影轮廓线方程分别为

在图4-66中，已知表面为锥面∑₁，设其轴线为O₂O₂，其与X轴的夹角为α，O₁O₁、O₂O₂两轴的公垂线距离为e，O₁O₁上的垂足至锥顶S的距离为h。其共轭曲面接触线与投影轮廓线的作图步骤为：

1）根据已知条件作出两轴线及圆锥面的两面投影。

2）在O₂O₂轴上任取一点I₀，过I₀点作圆锥面的法线，此法线在I₀点和圆锥面轴线O₁O₁所构成的平面内，将此平面绕O₁O₁轴旋转到正平位置，I₀点转到I_V位置，过i_V′作圆锥轮廓投影线s′m′的垂线得垂足j′，再由j′求得j。然后将J点绕O₁O₁轴线反向旋转到圆锥素线SI上得接触点I（i，i′）。

3）按上述作图求出O₂O₂轴线在圆锥面上的投影即得两共轭曲面的接触线。

4）一次投影变换，将H面变换为H₁面，使H₁面垂直于O₂O₂轴线，然后将I点绕O₂O₂轴旋转到I_1p位置，得I_1p点在投影体系中的投影I_1p（i_1p，i_p′），其中i_p′就是曲面∑₂的正面投影轮廓线上的点。

5）求出I点绕O₂O₂轴旋转到I₂位置时的水平投影i₂，i₂就是曲面∑₂水平投影轮廓线上的点。

图4-66 圆锥面接触线的求作

根据上述作图过程，可建立接触线及曲面∑₂的方程。由图4-66可知O₂′O₂′的方程为

z=（tanα）x （4-120）

I₀点坐标为

I_V点坐标为

s′j′方程为

（H-z）tanλ=x （4-123）

i_V′、j′方程为

j′点的z坐标由式（4-123）和式（4-124）可得

在图4-66中，s′k′方程为

由此可得I点的坐标为

当考虑参数u的变化范围时，即可得接触线方程为

i′i′_p与O₂′O₂′的交点i₂′的x坐标可由O₂O₂轴线及i′i_p′直线方程确定为

一次投影变换后I点的x₁、y₁坐标为

式（4-130）中x₁、y₁为I点的x、y坐标，由式（4-127）确定。

由此可得i′点的坐标为

当考虑参数u的变化范围时，可得曲面∑₂的正面投影轮廓线方程为

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曲面∑₂的水平投影轮廓线方程由图4-66可知，应为

在图4-67中，已知表面为球面∑₁，设球面球心为O，半径为R，其共轭曲面∑₂的轴线为O₂O₂，它与X轴的夹角为α，球心O与O₂O₂轴的位置由a、e决定。共轭曲面的接触线与曲面∑2的投影轮廓线的作图步骤如下：

1）根据已知条件作出球心O及轴O₂O₂的两面投影。

2）在轴线O₂O₂上任取一点I₀，过I₀点作球面的法线，该法线即为连线OI₀，过OI₀作一铅垂面，将此铅垂面绕过球心O的铅垂轴线转至正平面，其上直线OI_V即为正平线，o′i_V′与球面正面投影轮廓线的交点j′为法线OI与球面的交点I绕铅垂轴旋转到正平面上的投影，由j′可求得j。然后将J点反向旋转到I点位置得I（i，i′），I点即为接触线上的点。