计算机实验工程图形学下册-平面曲线切线法线方程与作图

1.显式表示

设曲线为y=f（x），斜率为tanα=y′，则曲线在点M（x₀，y₀）处的切线方程为

y-y₀=y₀′（x-x₀） （4-3）

法线方程为

由图4-3可知切距

次切距

法距

图4-3 平面曲线的切距、次切距、法矩和倾斜度

切线倾斜度

tanα=y₀′ （4-9）

2.隐式表示

设曲线的隐式表示为F（x，y）=0，曲线在M（x₀，y₀）点处的切线方程为

法线方程为

3.参数表示

设曲线的参数表示为x=x（t），y=y（t），曲线在M（x₀，y₀）点处的切线方程为

法线方程为

x′（t₀）[x-x（t₀）]+y′（t₀）[y-y（t₀）]=0 （4-13）

4.极坐标表示

切线方程的建立，由图4-4可知

在直角坐标系中

图4-4 曲线线切方程的建立依据

x=ρ（θ）cosθ

y=ρ（θ）sinθ

所以有

因为

又因为

由此得切线方程为

法线方程为

切距

法距

次切距

次法距

5.平面曲线的切线、法线的作图方法

例4-2 求椭圆在M点处的切线、法线方程，并作出切线、法线。

解 先由椭圆方程求出F_x′、F_y′为

再将F_x′、F_y′，代入式（4-10）和式（4-11）中，得切线、法线方程分别为

切线、法线的作法如图4-5所示。

1）由M点的x₀坐标作，在X轴上得P、D两点。

2）在y轴上取E点使OE=a并将E、D两点的直线段相连。

3）过E点作ET⊥DE交X轴于T点。

图4-5 椭圆的切线、法线作法

4）以直线连T、M两点，TM即为切线。

5）过M点作MN⊥MT，MN即为法线。

例4-3 求星形线的切线、法线。

解 切线方程为

法线方程为(https://www.xing528.com)

为作图方便，以参数形式表达星形线即

由平面曲线知一半径为b的动圆圆周沿另一半径为a的圆周的内部滚动而无滑动时圆周上一点M可描出一条曲线，并且当时所描的曲线有四支，称为星形线，即由上述参数方程表示，分别对t求导得

由此可知，过星形线上点M的切线斜率是k=-tant，于是根据星形线的形成及其上一点M的切线斜率可作出切线、法线，如图4-6所示。

1）以O为圆心、为半径作一圆π。

2）以M点为圆心、为半径作圆与圆π交于点C。

3）以直线连O、C两点并延长得端点D，使OD=a，OD与X轴夹角为t。

4）过D点作DF⊥X轴，交X轴于F点。

5）在X轴上以F点为起点向右量取，得G点。

6）连D、G两点得DG线，过M点作MT∥DG，MT即为过M点的切线，不难证明MT的斜率为k=-tant。

7）过M点作直线MN⊥MT，MN即为法线。

图4-6 星形线的切线、法线作法

例4-4 求渐开线

x=a（θsinθ+cosθ）

y=a（sinθ-θcosθ）的切线、法线。

解 将参数方程化为极坐标方程为

则切线方程为

法线方程为

由、得

所以只要过M点作线平行于OD即得切线MT，而法线即为MD，如图4-7所示。

图4-7 渐开线的切线、法线作法

例4-5 求双钮线r²=2a²cosθ的切线、法线。

解 由式（4-14）、式（4-15）可得双钮线的切线、法线方程分别为

由

得切线倾斜度

即有

由此可知，过M点作线MN，使MN与OM成夹角2θ₀，再过M点作MT⊥OM，MT即为切线，而MN为法线，如图4-8所示。

以上几例均为已知曲线求切线、法线，也可根据曲线在某一点的切线来确定曲线的形状。

图4-8 双纽线的切线、法线作法

例4-6 已知MT为椭圆上点M（x₀，y₀）的切线，求椭圆的长轴、短轴，如图4-9所示。

作图步骤如下：

1）过M点作MP⊥OX，并在X轴上取，得D点。

2）取DT中点S，以S为圆心、SD为半径作圆交Y轴于K点，OK即为长半轴a。

图4-9 由椭圆切线求其长、短轴

3）在Y轴反向取点E，使。

4）取EN中点S₁，以S₁为圆心、S₁E为半径画圆与X轴交于I点。OI即为椭圆短轴b。

证 椭圆在M点的切线方程为

即有

当y=0时，可得T点的坐标为。由此可得

S点的x坐标为

半径为

由此可得

同理，由切线方程可知当x=0时，，可得N点坐标为，由此可得S₁点y坐标为

半径为

由此可得