质点的直线运动-计算机实验工程图形学.下册

时间：2023-11-01 理论教育版权反馈

【摘要】：质点的直线运动是指质点沿一条直线运动。质点的直线运动可以用图示的方法表达其位置、速度和加速度。图2-56 质点运动加速度与时间的关系上述位置、速度、加速度都是相对于时间t的变化图形，这些曲线就是所谓的运动曲线。

质点的直线运动是指质点沿一条直线运动。在任意时刻t，质点都会对应直线上的某一确定位置。质点的直线运动可以用图示的方法表达其位置、速度和加速度。

假设作直线运动的质点，它的位置满足方程

x=6t²-t³ （2-17）

式（2-17）中，t的单位是s，x的单位是m。将x对时间t求导，就得到了质点在任意时刻t的速度

再求一次导，就得到了加速度a的表达式

根据式（2-17）、式（2-18）、式（2-19）编写程序：

（1）质点运动位置与时间的程序

程序运行结果如图2-54所示。

（2）质点运动速度与时间的程序

程序运行结果如图2-55所示。

（3）质点运动加速度与时间的程序

图2-54 质点运动位置与时间的关系

图2-55 质点运动速度与时间的关系

程序运行结果如图2-56所示。

图2-56 质点运动加速度与时间的关系

上述位置、速度、加速度都是相对于时间t的变化图形，这些曲线就是所谓的运动曲线。根据这些图形，可以查询某一时刻点的运动位置、运动速度和运动加速度。但是一定要注意，质点不沿其中任何一条曲线运动，而是在直线上运动。由于函数的导数就是函数曲线的斜率，所以曲线x-t每一时刻的斜率就等于该时刻v的大小，同样，曲线v-t每一时刻的斜率就等于该时刻a的大小。因此，当t=2s时，a=0，曲线v-t的斜率一定也等于零，此时速度有一个极大值。同样，当t=0s和t=4s时，v=0，曲线x-t在这两个时刻的切线一定是水平的。对以上三条曲线进行研究，可以将t=0时刻到t=∞质点的运动分成四个阶段：

1）质点从原点x=0处开始运动，初速度为零，但是加速度不为零且是正的。在这种情况下，质点会得到一个正的速度，并且沿正方向移动。从t=0到t=2s，x、v和a都是正的。

2）t=2s时，加速度为零，速度达到最大值。从t=2s到t=4s，v是正的，但a是负的，质点仍然沿正方向运动，但是越来越慢，质点正在减速。

3）t=4s时，速度为零，位置坐标x达到最大值。从此v和a就为负，质点正在沿负方向加速运动，速度不断增加。

4）t=6s，质点通过原点，它的位置坐标为零，同时从开始到此刻质点运动的路程的长度为64m。当t=6s以后，x、v和a都是负的。质点继续沿负方向前进，并且越来越快。从上面的讨论可以看出，如果知道了质点在每一时刻t的位置，就认为质点的运动已知。而通常情况下，运动很少由x和t的关系决定，更多是由质点的加速度形式给出的。

例2-1 如图2-57a所示，一个小球从一个距离地面20m的窗口，以10m/s的速度铅垂向上运动，已知小球的加速度是常数，值为9.81m/s²，方向竖直向下。求：（1）任意时刻小球的速度v和高度y；（2）小球达到最高点的时间及高度；（3）小球落地的时刻及相应的运动速度；（4）画出v-t、y-t曲线。

解（1）速度和高度表示小球位置坐标的Y轴原点选择在地面上，正方向向上。加速度的值v和y初值如图2-57a所示。将a代入a=中，并注意到t=0时v=+10m/s，有

将v代入v=dy/dt，并注意到t=0时y₀=20m，从而得到

（2）最高点当小球达到最高点时，v=0，代入式（2-20）得10-9.81t=0，即t=1.019s。将t=1.019s代入式（2-21）中得y=20+10（1.019）-4.095（1.019）2，即y=25.1m。

（3）球落地当球落地时，将y=0代入式（2-21）中，得20+10t-4.905t²=0，即t=-1.243s或t=+3.28s。只有根t=+3.28s符合运动开始后的条件。将其代入式（2-20），得(www.xing528.com)

v=（10-9.81×3.28）m/s=-22.2m/s

即球落地时速度为22.2m/s，方向向下。

（4）画v-t曲线

程序运行后得到速度与时间的关系曲线，如图2-57b所示。画y-t曲线

程序运行后得到高度与时间的关系曲线，如图2-57c所示。

图2-57 小球的运动

a）已知条件 b）v-t曲线 c）y-t曲线

例2-2 图2-58a所示的减振机构通常用在枪械上以减小反冲力，它主要是由一个连接着枪炮的活塞和一个充满油的刚性液压缸组成，活塞在液压缸中往复运动。当炮管以初速度v₀产生一个反冲力时，活塞运动，油被压进活塞上的小孔，这样炮管和活塞一起按照与其速度成正比的比例减速，即a=-kv。（1）将v表示成时间t的函数；（2）将x表示成时间t的函数；（3）将v表示成位置坐标x的函数，并画出相应的曲线。