计算机实验工程图形学.下册-解决平行平面作图和判别问题

（1）两平面平行 由初等几何定理可知，两平面平行的条件是：属于一平面上的两条相交直线对应地平行于另一平面上的两条相交直线。

根据此定理可解决平行平面的作图和判别问题。

例1-8 过点K作平面平行于△ABC平面，如图1-37a所示。

图1-36 直线与平面的已知投影

解 根据两平面平行的条件，只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC平面上的任意两直线（例如两条边）即可。为此作k′m′∥a′b′，k′n′∥b′c′；km∥ab，kn∥bc，如图1-37b所示，则由KM、KN两相交直线所决定的平面一定平行于△ABC平面。

图1-37 两平面平行

两平面平行的解析表示。若平面P、Q的方程分别为A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0和A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0，则两平面平行的充要条件是两平面方程的系数成比例，即A₁∶B₁∶C₁=A₂∶B₂∶C₂。

证明：由投影图知，若P、Q两平面平行，则其同面迹线必平行。P、Q两平面V面的迹线方程分别为：A₁x+C₁z+D₁=0，A₂x+C₂z+D₂=0，因为P_V∥Q_V，所以A₁∶C₁=A₂∶C₂。P、Q两平面H面的迹线方程分别为：A₁x+B₁y+D₁=0，A₂x+B₂y+D₂=0，因为P_H∥Q_H，所以A₁∶B₁=A₂∶B₂，根据连比定理，得到A₁∶B₁∶C₁=A₂∶B₂∶C₂，证明完毕。

两平行平面间的距离

两平面重合的充要条件是

A₁∶B₁∶C₁∶D₁=A₂∶B₂∶C₂∶D₂

（2）两平面相交 当两平面处于一般位置时，它们的任一投影均没有积聚性，所以交线的投影均为未知。为了求得共有点常用辅助平面法。

用辅助平面法解题的基本思路是，将相交两平面中的任一平面视为由两条相交或平行直线所构成，然后用辅助面法分别求出该两直线与另一平面的交点，所得两个交点即为两平面的共有点，连接之即为两平面的交线。

在图1-38中，将△ABC看成由AC和BC两条相交直线所构成，过其分别作正垂面P，Q为辅助面，并利用辅助面分别求出AC和BC与△DEF的交点K₁、K₂，将K₁、K₂相连接，即为△ABC和△DEF的交线。其具体作图步骤，请读者对照图例自行分析。(www.xing528.com)

图1-38 用辅助平面法求两一般位置平面的交线

两个一般位置平面相交时，其正面投影和水平投影均会有部分投影重合，因此在求得交线后，尚需判别其可见性。如图1-38中利用H面的重影点1、2，可判别两平面水平投影的可见性，利用V面重影点3′、4′，可判别两平面正面投影的可见性，然后将各自轮廓线补齐，可见部分用实线，不可见部分用虚线，有时为清晰起见，不可见部分也可省略不画。

需要指出的是，当辅助面与已知面产生的交线的投影与已知边的投影不能直接相交时，可将各自的同面投影延长以获得交点。

两平面的交线是先求出一个平面上的两条直线与另一个平面的两个交点，然后将两个交点连成直线即为两个平面的交线。因此，当两平面投影为已知时，可应用直线与平面求交点的方法求出两个交点坐标，再由两个交点获得交线方程。请读者参照求直线与平面交点坐标的方法自行分析。

（3）两平面的夹角

定义：包含一条直线（MN）的两个半平面所组成的角，称为两面角。从两面角的棱线（MN）上的任意一点A，在两个半平面内分别作垂直于棱线的两条射线AB、AC，这两条射线所组成的∠BAC，称为两面角的平面角，如图1-39所示。或者说，作垂直于两个平面交线的平面S，S面与两个平面的交线所夹的角为两面角的平面角。两面角的夹角可用两面角的平面角度量。图1-40所示为求两平面P和Q之间夹角θ的示意图。其解题步骤如下：

1）在空间任取一点L，由L分别作平面P和Q的法线LM和LN，相交两直线LM和LN所确定的平面S是P、Q两平面的公垂面，即是平面角所在的平面。

2）求出相交两直线LM和LN的夹角ϕ。

3）ϕ角的补角便是两平面的夹角θ。

图1-39 两平面的夹角

图1-40 两平面夹角求解的示意图

如果给出两平面的方程分别为：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0和A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0，则求两面夹角的公式为