直线平面相对位置-计算机实验工程图形学.下册

时间：2023-11-01 理论教育版权反馈

【摘要】：直线与平面平行由初等几何的定理可知，直线和平面平行的充分必要条件是该直线平行于平面上的某一直线。体现在投影图上，直线与平面平行，则直线与平面上某一直线的各个同面投影均相互平行，否则该直线与平面在空间不平行。图1-34 直线与平面的夹角3）角的余弦便是直线DE对平面△ABC的倾角θ。

（1）直线与平面相交图1-31a表示了用辅助面法求解的基本思路：如要求DE和△ABC的交点，可先包含已知直线DE作辅助面P（为了求解方便，通常选用特殊位置面作辅助面），然后求出P面与已知面ABC的交线MN，则同在P面上的直线DE和交线MN必相交，其交点K即为所求DE和△ABC的交点。

图1-30 交叉两直线的投影

图1-31 求一般位置直线与一般位置平面相交的交点

下面结合图1-31b，介绍求交点的具体步骤：

1）包括已知线作辅助面。在图1-31b中，过DE作正垂面P，其正面投影P_V积聚为一条线与d′e′重合。

2）求已知面与辅助面的交线为m′n′和mn。

3）求出该交线与已知线的交点，即为所求线、面的交点。图1-31b中de与mn的交点k，为所求线、面交点的水平投影。其正面投影k′可按投影规律在d′e′上作出。

由于直线和平面在投影中有部分重合，所以在求出交点后，还需判别其可见性。图1-31b中利用重影点Ⅱ、Ⅲ，可判定水平投影中dk段为可见；利用重影点Ⅰ、N可判别正面投影中k′n′段为不可见。

同样可以选择过直线MN的铅垂面为辅助面，求解结果完全相同。必须注意，正面投影和水平投影的可见性问题，必须分别用重影点判别之。

设直线方程为，平面方程为Ax+By+Cz+D=0，交点坐标可由公式

求解。

当已知平面上三点M₁（x₁，y₁，z₁），M₂（x₂，y₂，z₂），M₃（x₃，y₃，z₃）时，平面的法向矢量为

由此可得平面方程的系数

A=（y₂-y₁）（z₃-z₁）-（z₂-z₁）（y₃-y₁）（1-32）

B=-（x₂-x₁）（z₃-z₁）+（z₂-z₁）（x₃-x₁）（1-33）

C=（x₂-x₁）（y₃-y₁）-（y₂-y₁）（x₃-x₁）（1-34）

由图1-32可知，当直线与平面以投影图形式给出时，可以从图上量取直线的方向数l、m、n和直线上一点的坐标（x₀，y₀，z₀），并量取平面上三点坐标M₁（x₁，y₁，z₁），M₂（x₂，y₂，z₂），M₃（x₃，y₃，z₃），代入式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）计算出系数A、B、C与l、m、n、（x₀，y₀，z₀），一起代入式（1-29）、式（1-30），即可算出交点坐标。

如从图1-32中量取DE直线的方向数为：l=24.8504，m=14.2379，n=5.4499；平面三点坐标为：M₁（40.8531，16.6657，4.1827），M₂（28.4383，3.9921，19.7149），M₃（11.3850，18.9793，11.1313），直线上D点的坐标为D（38.1132，20.1999，14.1288），经式（1-29）、式（1-30）计算交点K的坐标为K（25.5052，13.0236，11.3413），与图解得到的K点坐标一致，同时反映了直线与平面相交的可见性问题。